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2010年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪 四年级秋季班（七级下） 8.1 第八讲幻方与数阵图一、幻方基本概念1、幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……2、幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和幻和=总和÷阶数二、幻方的构造方法1、杨辉口诀法（三阶）——九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出具体操作如下：九子斜排上下对易，左右相更四维挺出2、连续摆数法（罗伯法）适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方。要点：1、首数填在第一行的正中间2、连续往右上方摆数3、出格了怎么办？——卷纸筒，上面出格就卷到下面，右面出格就卷到左面。4、格子中已有数了怎么办？——右上没路了就往下拐弯嘛。如，构造三阶具体操作：一居上行正中央上出框时往下填右出框时往左填排重便在下格填（注意是原数3的下格）注意：6的右上方经过卷纸筒应该对应的是左下方“4”的位置，已经有数“4”了，7就要在原数6的下方写。同学们自己试试5阶、7阶：）56398742156398742156398742121321342156342156374215638742156398742112010年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪 四年级秋季班（七级下） 8.2 3、楼梯法（适合奇数阶）要点：1、构造楼梯2、数字按顺序斜排3、把幻方外的数字平移进幻方——上到下，下到上，左到右，右到左如，构造五阶具体操作：5410391528142017131925612182411172316222131692215208211427251311924125186114171023在四边都构造楼梯 按顺序排好数 把幻方外的数字平移进幻方——上到下，下到上，左到右，右到左移完后去掉楼梯就OK啦 2010年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪 四年级秋季班（七级下） 8.3 4、四阶（对角线法）总体来说，偶数阶的幻方构造比奇数阶要复杂。但因为四阶阶数不大，作为拓展，程老师也给大家补充一下四阶的一种简单构造方法——对角线法。要点：1、按顺序写数2、对角互换（注意有大对角和小对角）12345678910111213141516大对角互换小对角互换小知识：幻方数量知多少？三阶幻方只有一种基本形式（经过旋转、反射，有8种变形）四阶幻方有880种基本形式五阶幻方有275305224种基本形式！三、幻方拓展如：三阶幻方基本型（从1-9）每个数都加1仍然是一个幻方，幻和增加了3幻方的基本型可以拓展为更多的幻方！那么我们记住基本型，遇到很多题就简单多啦！例2请编出一个三阶幻方，使幻和为24。解析：基本型三阶幻方幻和是15,幻和增加了24-15=9每个数应增加9÷3=3每个数加3先写出基本型OK啦当然，本题并没有说用哪些数，所以答案很多，但是这种方法是不是更快呢？拓展：请用11.13.15.17.19.21.23.25.27编制一个三阶幻方解析：这是一个等差数列，将它与基本型中的1-9对应好111315171921232527对应123456789162313567891011124141511623135111089761241415149235781651034689274923578167125681011492010年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪 四年级秋季班（七级下） 8.4 abcdefghi对应的数填在对应的位置先写出基本型OK啦四、三阶幻方小窍门1、中心数=幻和÷3证明：对于这一个三阶的幻方，我们只看红色的四条线，每条线三个数的和都=幻和四条红线的总和：4个幻和。四条红线的总和也是9个数再多加3遍中心数那么就有9个数+3×中心数=4个幻和而9个数的总和也是幻方中三行的和，等于3个幻和那么就有3个幻和+3×中心数=4个幻和3×中心数=1个幻和中心数=幻和÷3反过来，幻和=中间数×32、角块等于对角两棱块之和的一半c=（a+b）÷2证明：设中心数为d，那么幻和为3d则第一行中间的数为3d-d-a=2d-a第三行最右的数为3d-c-d=2d-c因为c+(2d-a)+ ★=b+(2b-c)+ ★所以c+(2d-a)=b+(2b-c)c-a=b-c2c=a+bc=（a+b）÷2例3在下图的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方492357816172713151923251121cbac2d-a★dba2d-cA12DB152016C112010年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪 四年级秋季班（七级下） 8.5 1234c e a d b 21234341243212143解析：已知中心数，先求幻和=15×3=45那么就容易填啦！同学们自己算算吧。A=19，B=10，C=18，D=14（提高）学案1在下图空格中填入7个自然数，使每行、每列、每一对角线三数之和为90解析：告诉了幻和，先求中间数=90÷3=30告诉了相邻2个棱块，一定能求对角角块=（23+57）÷2=40，得到右图接下来就容易了吧？同学们自己计算吧！（尖子）学案1按要求完成幻方（1）只求x（2）如果中间格填入100，请在（1）的基础上完成所有格的填数。解析：想想窍门2，95=（x+19）÷2，那么可算出x=171中间数是100，可求出幻和是300，其他的就好填了，同学们自己试试吧！最后答案：你填对了吗？五、数独要点：找限制性多、可能性少的地方入手，必要的时候用枚举法试填。例4在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4。解析：先看对角线，a处只能填1，b处就只能填3。以此类推，c填3，d填4，e填4……最终填完为235740233057x199512342241711051811001995291762010年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪 四年级秋季班（七级下） 8.6 六、数阵图关键点：找特殊——重叠部分（一）计算法线和-数和=重叠部分…重叠部分就是多算的部分例：把1～7这7个数分别填入图中的圆圈内，使得每条直线上的3个数的和都等于12。解析：计算法线和：12×3=36数和：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=28线和-数和：36-28=8……重叠部分是8中间的那个重叠数被计算了3次（3条线），多计算了2次！所以重叠数应该是8÷2=4多算的次数中间数填4，其余6个数两两组合，都应该等于8，故1、7一组，2、6一组,3、5一组。（二）试算法适用范围：除开重叠数，每条线还有2个数的辐射型数阵图重叠数选择：最小、最大、正中间例：把1～7这7个数分别填入图中的圆圈内，使得每条直线上的3个数的和都相等。解析：除开中间的重叠数，每条线还有2个数。中间数一定只能选择1,4,7。中间数选1时，其余的小的找大的，配组为2-7,3-6,4-5中间数选4时，其余的小的找大的，配组为1-7,2-6,3-5中间数选7时，其余的小的找大的，配组为1-6,2-5,3-42010年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪 四年级秋季班（七级下） 8.7 学案2把1～7这7个数分别填入图中的圆圈内，使得每个圆周和每条直线上的3个数的和都相等。解析：先不看圆周，那么本题就与上题一样了，那么中间数只能选择1,4,7。增加了圆周的限制条件，会怎样呢？只看圆周，除了最中间的数，其余六个数平均分成2个圆，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=28，设每个圆之和为k，则有28-中间数=2k，那么中间数必须是偶数。所以只能是4。剩下的数平分成两个圆，应是1,5,6与2,3,7。同学们可以先填入一个圆周，再结合每条直线上的配组应是1-7,2-6,3-5，那么得到答案如右上图。例5能否将数0,1,2……，9分别填入下图的各个圆中，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等？解析：先找到突破口，同学们都容易想到最中间的那个圆。在这个题中，它有什么特殊的地方呢？一是它连接的阴影三角形最多，还有一点，当你把这个圆去掉，发现只有三个独立的阴影三角形了。设一个阴影三角形的和为k，那么就有0＋1＋2＋……＋9=45，45-中间数=3k，那么中间数必须是3的倍数，只能是0,3,6,9。我们逐一试验。当中间数填0时，每个阴影三角形的和k=45÷3=15，那么a+b+0=c+d+0=e+f+0=15,即a+b=c+d=e+f=15，但1-9中，只有6+9=7+8=15，找不出第3对等于15的，所以中间数不能填0。同理可分析，中间数也不能填9，具体过程同学们自己试试吧。中间数只能填3和6。接下来程老师把中间数填3的过程解析一遍，填6的情况同学们就自己试试啦。4 1 5 6 2 3 7 0abc def2010年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图 程雪 四年级秋季班（七级下） 8.8 中间数填3，每个阴影三角形的和k=（45-3）÷3=14，那么a+b+3=c+d+3=e+f+3=14,即a+b=c+d=e+f=11，剩下的数中，2+9=4+7=5+6=11，同时，0+9+5=1+6+7=2+4+8=14结合这两个条件，将2,9,4,7,5,6填进去，得到后面的三个数就好填啦！自己试试吧。例6将1-9分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。想一想，怎样填才能使五个数的和尽可能大？cba解析：1＋2＋……＋9=45，把每条边的五个数之和设为k，那么三条边之和等于45×2-（a+b+c）,即90-（a+b+c）=3k。要使k最大，那么（a+b+c）应该最小，同时还要保证是3的倍数。取a+b+c=1+2+3=6，于是3k=90-6=84，k=28。关键是怎么填呢？发现剩下的6个三角形是两个两个组合在一起的，那么我们把它们合在一起看，易知：A比C大1，B比A大1，那么C,A,B构成一个公差是1的等差数列。剩下的数中4+8=12,6+7=13,5+9=14，即满足条件。当然，还可以5+7=12,4+9=13，6+8=14，给出一种填法如下9576843213295 674