全国数学建模大赛-利用太阳影子定位定时

1利用太阳影子定位定时摘要影子是时刻伴随我们身边的朋友，太阳光下的影子可以给我提供很多的信息。如何利用影子的位置来确定日期和地点是本文要解决的主要问题。本文运用了几何知识、曲线拟合以及地理知识等方法解决了这些主要问题，得到了影子长度随时间的变化曲线和根据影子分析位置。针对问题一，我们建立了影长变化模型，以解决在天安门广场时间与影长的变化关系，并用excel软件画出了相应的函数变化曲线。针对问题二，我们建立了影顶定位模型，该模型主要解决了如何求解影子的经度的问题；由于该模型功能有限，我们也建立了求解地方纬度的模型，然后用经纬度地图查询软件定位出了所求点的位置。针对问题三，假设时间，利用问题二中建立出来的影顶模型、影长的变化率和最短影长的关系以及时差的分析确定经纬，确定位置。针对问题四，从附件4中按比例求出影长，然后假设最短影长，利用问题二中建立出来的影顶模型、影长的变化率和最短影长的关系以及时差的分析确定经纬，确定位置。最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并指出了改进的方法。关键词：影长曲线拟合几何分析模型定位一、问题重述1.1问题背景太阳影子定位的发展有助于人们对身边事物的充分了解和利用，阳光每天都会照耀在我们身上，我们是否有真正的懂得其中的哲理呢？随着人民生活水平的不断提高，人们对了解身边事物的渴望越来越强烈，研究太阳影子带来的科研成果将更加丰富人的生活，对世界有更多的了解和认识，拓宽人类的视野。在本2文里我们将运用所学的知识，构造影子定位模型，根据影子计算出物体所处的地理位置和时间日期。为了进一步的了解太阳影子的带给我们的信息语言，我们小组创建了一下几个模型以解决在不同环境、不同地域下成立的影子定位模型。1.2本文需要解决的问题有：（1）求解出太阳高度角及确定当地的赤纬与当地时角（2）当地纬度和太阳高度角间的联系（3）时差分析（4）经纬度定位二、问题分析2.1问题一“建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律”我们在建立模型之前首先查阅了相关的资料，初步设想了解决问题的方案。提出问题：直立杆在太阳光下的影子是怎样变化的？求解影长首先我们想到的是利用三角函数，因为在太阳光下，太阳光经过杆顶会与地面形成一个夹角α，影长l-直杆h-太阳直射光线形成的一个直角三角型，示意如图2-1若知道α角和h的高即可利用正切三角公式tanα=h/l影长l=h/tanα所以，求出α角即为求出影长的关键。(α即为太阳高度角)2.2问题二，根据数据分析出最小影长，得到当地的正午时间，利用时差分析出当地的经度，利用太阳高度角公式[1]sinα=sinφsinδ+cosφcosδcost以及三角函数关系sinφ2+cosφ2=1联立方程组，此方程组仅有sinφ、cosφ为未知量，3即可求出sinφ和cosφ的值，利用反三角函数求出φ的值，也就是我们所需要的纬度，利用求出的经度和纬度在地图上确定可能的位置。2.3问题三，根据附件2中的各点（Xi，Yj），拟合出方程Y=0.51X+0.816,依据推论（正午最短影长的投影应该在X轴或Y轴上），经初步验证排除了最短影长在Y轴上的可能。跟据影长的变化率，确定最短影长的当地时间，利用时差确定其经度，同理可依据附件3中的数据确定可能地点的经度。假设一个日期，根据纬度求解方法求出当地纬度。2.4问题四，按照一定的时间间隔分别记录若干组影子与杆长的比例，求出不同的影长。日期可以用来算积日，当地时间可以求得时角，故可以求得每个角的太阳高度角的正弦值，利用太阳高度角公式sinα=sinφsinδ+cosφcosδcost求出sinφ，利用反三角函数求出φ的值，也就是我们所需要的纬度；依据附表4求得影长随时间的变化率，求得最短影长分析时差计算出经度。最后利用所求出的经纬度在地图上确定位置。三、模型假设与约定3.1模型一假设（1）2015年10月22日9：00-15：00北京天安门广场整天都有阳光照射（2）直杆没有被任何物体所遮挡，且不被风力所影响（3）太阳高度角不受地球热面大气折射的影响3.2模型二假设（1）约定直杆长h=3m（2）直杆所处位置白昼时间都有阳光照射（3）假设地球公转是匀速圆周运动3.3模型三假设（1）假设直杆长度h=3m（2）不考虑特殊情况的影响（如：没有阳光）3.4模型四假设（1）影长变化率是按线性变化的4（2）最短影长为l=1m（3）忽略测量是的误差四、符号说明及名词定义符号意义a、b、c常数h直杆长度（m）l影子长度（m）t时角（°）d该日期距离春分日的天数（天）N积日（天）T距离12：00的小时数(Xi，Yj)坐标α太阳高度角（°）δ当地赤纬（°）当地纬度（°）地球公转角速度（°）太阳直射纬度（°）5五、模型建立和解决5.1模型一5.1.1模型准备（1）模型符号说明α：太阳高度角（°）h：直杆长度（m）l：影子长度（m）δ：赤纬（°）：当地纬度（°）t：当地时角（以当地时间12：00为0°，后每小时增加15°）N:积日（1月1日-当日相距天数）T：该时间距离12：00的小时数（h）（2）太阳光线的确定为建立模型简单合理，取经过杆顶的一条太阳光线与地面形成夹角α且α在0°——90°之间,所以α=arctan（h/l）。（3）模型近似为了求解模型方便，将直杆所处地面近似为绝对水平面，无任何的凹凸起伏。而且直杆立与地面保持与地面的相对静止。5.1.2模型的建立为帮助理解，我们做了太阳光线与地面、直杆影长所构成的示意图如图5.12-1所示6我们的求解目的是求出影子的长度，已知杆长为h=3m，我们已经假设了影长为l，太阳高度角为α根据示意图如果要求影子长度由正切三角函数公式lhtan可知，我们首先要确定α角的值。为了求解出太阳高度角的值，建立一下的数学模型sinα=sinsinδ+coscosδcost即求解出α的值成为了解决本题的关键。要求出α的值，但是有三个未知量分别是当地纬度、赤纬角度δ[2]、当地时角t[3]。由题目的已知条件，我们可以得到当地纬度的的值是“北纬39度54分26秒”，即=39°54′26″时角t可以通过题目给定的时间日期是可以计算的即t=T*15°所以要求解出sinα就必须建立一个模型求δ这里的δ表示的是从天赤道沿着天体的时圈至天体的角度称为该天体的赤纬。根据地球示赤纬意图如图5.1.2-2所示赤纬图5.1.2-27由于太阳赤纬角在周年运动中任何时刻的具体值都是严格已知的,即可建立以下模型用来求解sinδ的值sinδ=0.39795*cos[0.98563*(N-173)]其中N表示的是积日（1月1日-当日相距天数）。5.1.3模型的求解（1）已知：日期2015年10月22日（用来求积日N）北京时间9:00-15:00[用来求当地时间（求时角t）]地点天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）杆高h=3m（2）计算由已知可求得N=295利用公式sinδ=0.39795*cos[0.9856*(N-173)]sin2δ+cos2δ=1求得sinδ=0.25772，cosδ=0.96622又由t=T*15°求出不同时间的时角t，然后不同时间的时角的余弦cost，见图表5.1.3-1所示；利用已知条件求出cos和sin的值，即cos=0.766269，sin=0.64252利用公式sinα=sinsinδ+coscosδcost求出不同时间sinα的值，见图表5.1.3-1所示，再根据sin2α+cos2α=1，tanαcosαsinα求出不同时间的tanα的值，见图表5.1.3-1所示利用公式8tanα=lh求得不同时间的影长l见图表5.1.3-1所示根据所计算出的数据建立影长-时间变化曲线如下图5.1.3-2所示再根据曲线，用excel拟合出时间与影长的变化规律函数为l=0.1943*T2-4.7694*T+30.6765.2模型二5.2.1模型准备（1）模型符号说明α：太阳高度角（°）影长-时间变化曲线图5.1.3-2图表5.1.3-19δ：赤纬（°）t：当地时角（以当地时间12：00为0°，后每小时增加15°）φ：当地纬度（°）：太阳直射点纬度（°）：地球公转角速度（rad/天）d：距离春分日的时间（天）（2）模型约定杆的长度为h=3m，不考虑特殊因素的影响5.2.2模型的建立由题目提供的信息与所要解决的问题，我们建立了以下的“影顶模型”。根据附件1影子顶点坐标数据，求出最小影长，根据时差就得当地经度。由于太阳直射点每时每刻都在变，所以=360°/365建立一个求解太阳直射角[4]的数学模型如下=arcsin[23°26′*sin（d）]将公式简化为=[0.4*sin（0.9863*d）]已知α=90°-|φ-|tanα=lhh和l是已知量可求出α角，式中只有φ为未知量，即可求出φ的值，也就是当地的纬度，然后根据经纬度在地图上确定位置。5.2.3模型的求解（1）已知地球公转角速度=360°/365≈0.9863°/d杆长h=3m（2）计算10○1经度的计算分析，如图5.2.3-1所示如上图所示，设x=0时影长最小，根据附表一中的数据求出每分钟x轴上的变化率（1.8277-1.0365）/60=0.13186667再求出x的值从0—1.8277所需要的时间，根据x=1.8277的时间为14：42，根据时间差求出x=0的时间，也就是最小影长的时间按照时差求出经度。具体过程如下：1.8277/[（1.8277-1.0365）/60]=78=1:1814:42-1:18=13:2413:24-12:00=1:24根据东经120°到达正午的时间是12：00，而此地到达正午的时间是13：24，根据时差可以求此地经度109.25°（每小时相差15°）。○2纬度的计算tanα=lh，得α=56.6°=[0.4*sin（0.9863*d）]，d=28，得=10.5°α=90°-|φ-|得φ=33°和φ=33.5°求解出相应的经纬度为（33°N，109.25°E）和（33.5°N，109.25°E）在地图图5.2.3-111上的具体位置分别如图5.3模型三5.3.1模型准备（1）模型约定杆长为3ma，b，c：常数假设附表2日期分别为2月4日、10月1日；假设附表3的日期分别为5月1日、9月3号5.3.2模型的建立以附表2中的数据为依据，影长l=22yx，求解出tanα。拟合出附表2中（Xi，Yj）的方程，求出最小影长，根据时差就得当地经度。根据公式sinα=sinsinδ+coscosδcostsin2α+cos2α=1可以求得纬度，确定地点。5.3.3模型的求解（1）已知影子顶点坐标数据（2）计算图5.2.3-2图5.2.3-312○1经度计算拟合出附表2中（Xi，Yj）的方程为Y=0.51X+0.816拟合图像如图示图5.3.3-1推理可得最短影长为1.6m，变化率为（0.4484-0.173）/60=0.00459；时间差值为38分钟，根据东经120°到达正午的时间是12：00，而此地到达正午的时间是12：03，根据时差可以求此地经度119.25°（每小时相差15°）。同理将此计算方法用于附件3中数据可得经度为116.5°○2纬度计算根据公式sinα=sinsinδ+coscosδcostsin2α+cos2α=1sinα=a，sinδ=b，cosδ*cost=c；可以求出cos=）bc（2）b-a（）bc（4-）2ac-（ac22222222；依据附件2求纬度当日期为2月4日求得纬度为48°；当日期为10月1日求得纬度为33°综上所图5.3.3-113得经纬度分别为（48°N，119.25°E）和（33°N，119.25°E）确定的地点在地图上的位置图表5.3.3-2和5.3.3-3所示依据附件3求纬度当日期为5月1日求得纬度为40°；当日期为9月3日求得纬度为38°综上所得经纬度分别为（40°N，116.5°E）和（38°N，116.5°E）确定