立体几何表面积体积练习题

1柱体、锥体、台体的表面积一、选择题1．正四棱柱的对角线长是9cm，全面积是144cm2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．无数个2．三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC，且侧面A1ABB1与侧面A1ACCl的面积相等，则∠BB1C1等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（）A．10cmB．52cmC．512cmD．4252cm4．中心角为43π，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于（）A．11∶8B．3∶8C．8∶3D．13∶85．正六棱台的上、下底面的边长分别为a、b（ab），侧面和底面所成的二面角为60°，则它的侧面积是（）A．33（b2－a2）B．23（b2－a2）C．3（b2－a2）D．23（b2－a2）6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（）A．1∶2∶3B．1∶3∶5C．1∶2∶4D．1∶3∶97．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（）A．3∶5B．9∶25C．5∶41D．7∶98．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．221B．421C．21D．2419．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则ST等于（）A．91B．94C．41D．31210．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（）A．40B．)31(20C．)31(30D．303二、填空题11．长方体的高为h，底面面积是M，过不相邻两侧棱的截面面积是N，则长方体的侧面积是______．12．正四棱台上、下底面的边长为b、a（a＞b）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．13．圆锥的高是10cm，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．14．圆台的母线长是3cm，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．三、解答题15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a，侧面积为S，求棱台上底面的边长．16．圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?17．圆锥底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A，求一个动点P自A出发在侧面上绕一周到A点的最短路程．3柱体、锥体与台体的体积一、选择题1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（）A．2倍B．4倍C．2倍D．22倍2．一个长、宽、高分别为a、b、c长方体的体积是8cm2，它的全面积是32cm2，且满足b2＝ac，那么这个长方体棱长的和是（）A、28cmB．32cmC．36cmD．40cm3．正六棱台的两底面的边长分别为a和2a，高为a，则它的体积为（）A．32321aB．3233aC．337aD．3237a4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（）A．1B．3C．2D．215．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm2，则此球的体积为（）A．334cmB．386cmC．361cmD．366cm6．正六棱锥的底面边长为a，体积为323a，那么侧棱与底面所成的角为（）A．6B．4C．3D．1257．正四棱锥的底面面积为Q，侧面积为S，则它的体积为（）A、SQ31B．)(2122QSQC、)(2122QSSD、)(6122QSQ8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（）A．1∶7B．2∶7C．7∶19D．3∶169．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S1、S2、S3，下面关系中成立的是（）A．S3＞S2＞S1B．S1＞S3＞S2C．S1＞S2＞S3D．S2＞Sl＞S310．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（）A．1∶5B．1∶23C．1∶11D．1∶47二、填空题11．底面边长和侧棱长都是a的正三棱锥的体积是_______．412．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______．13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______．14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______．三、解答题15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．16．两底面边长分别是15cm和10cm的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求它的体积．17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h．18．如图所示，已知正方体ABCD—A1B1ClDl的棱长为a，E为棱AD的中点，求点A1到平面BED1的距离．5球的体积和表面积一、选择题1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（）A．2倍B．3倍C．4倍D，8倍2．若球的大圆周长是C，则这个球的表面积是（）A．42cB．42cC．2cD．2πc23．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是（）A．916B．38C．4πD．9644、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（）A．4倍B．8倍C．16倍D．32倍5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（）A、1倍B．2倍C．3倍D．4倍6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（）A．4πB．4C．32D．42π7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm，两个直径都是5cm的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（）A、35cmB．310cmC．340cmD．65cm8．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积为（）A、916πB．38πC．4πD．964π9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（）A．202πB．252πC．50πD．200π10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（）A．S球＞S正方体B．S球＝S正方体C．S球＜S正方体D．大小关系不确定二、填空题611．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V1、V2、V3，则V1＋V2＝_____V3．12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l，则球的体积为_________．13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm2的圆柱状容器中，容器水面升高34cm，则玻璃球的半径为__________．14．将一个半径为R的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______．15．表面积为Q的多面体的每个面都外切于半径为R的一个球，则多面体与球的体积之比为______．16．国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”，“小球”的外径为38mm，“大球”的外径为40mm，则“小球”与“大球”的表面积之比为__________．三、解答题17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为16的小球？18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30cm，高度为5cm，该西瓜体积大约有多大?19．三棱锥A－BCD的两条棱AB＝CD＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．7参考答案一、选择题1．B2．C3．D4．B5．C6．C7．A8．D9．C10．C二、填空题11．331V提示：三个球半径之比为1∶2∶3，体积为1∶8∶27．12．36π设球的半径为R，由题意得52－R－82－R＝1，∴R＝3，∴V球＝334R＝36π．13．4cm14．3938R15．Q∶4πR216．361∶400三、解答题17．设球半径为R，则343R＝16，∴R＝433．而正三棱柱底面内切圆半径r＝63，比较R与r的大小，R6＝6243＝649＝62·327·641，r6＝6627＝662·327＝62·327·2431，∴R6＞r6，∴R＞r，所以不能放进一个体积为16的小球．18．解：如图，设球半径为Rcm，切下的较小部分圆面半径为15cm，∴OO′＝R－5．Rt△OO′A中，R2－（R－5）2＝15，∴R=25（cm）．V＝334R＝32534）（＝362500（cm3）．19．设球半径为R，三棱锥A－BCD表面积为S，则V三棱锥＝3RS．取CD中点M，连结AM、BM．∵AC＝AD＝5，∴CD⊥AM．同理CD⊥BM，∴CD⊥平面ABM，∴V三棱锥＝31（CM＋MD），S△AMB＝2S△AMB．∵AM＝BM＝4，取AB中点N，连结MN，则MN⊥AB，且MN＝2234－＝7，∴S△ABM＝73，∴V三棱锥＝76．8又三棱锥每个面面积和都为12，∴S＝4×12＝48，∴V三棱锥＝R348＝16R．20．解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a，∵4πR2＝324π，∴R＝9，∴142＋（a2）2＝182，∴a2＝64，∴a＝8．∴S四棱柱＝2a2＋4a·14＝64×2＋32×14＝576．参考答案一、选择题1．C设正四棱柱的底面边长为a，高为c，由题意2a2＋c2＝81①2a2＋4ac2＝144即a2＋2ac2＝72②①×8－②×9得7a2－18ac＋8c2＝0即（7a－4c）（a－2c）＝0，因此7a－4c＝0或a＝2c，由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故正确答案选C．2．C3．D4．A5．A6．B7．D8．A设底面圆半径为r，母线即高为h．∴h＝2πr．∴侧全SS＝rhrhr2222＋＝hhr＋＝rrr22＋＝221＋．∴应选A．9．A10．B可计算出直截面的周长为5＋35，则S侧＝4（5＋35）＝20（1＋3）．另解：如图，若∠A1AC＝∠A1AB＝60°，则可证明□BB1C1C为矩形，因此，S侧＝2S□BBAA11＋CCBB11矩形S＝2×4×5×sin60°＋4×5＝20（1＋3）．二、填空题11．2222MhN＋．设长方体的长和宽分别为a，b则有a·b＝M，22ba＋·h＝N，2（a＋b）h＝22）＋（ba·h＝MhN2222＋·h＝2222MhN＋．12．baab＋13．3200；60°14．233cm；211cm，229cm三、解答题．15．设O，O1分别为下，上底面中心，连接OO1，则OO1⊥平面ABC，上底面边长为x，连接AO，A1O1并延长交BC，B1C1分别于D、D1两点．则AD⊥BC，连接DD1，则DD1⊥BC，∠ADD1为二面角A－BC－D1的平面角，即∠ADD1＝60°，过D1作D1E∥OO1交AD于E，则D1E⊥平面ABC．9在正△ABC，△A1B1C1中，AD＝a23，A1D1＝x23．在Rt△D1ED中，ED＝OD－OE＝31（AD－A1D1）＝63（a－x）．则D1D＝2ED＝33（a－x），由题意S＝3·233）－（）＋（xaax．即S＝23（a2－x2）．解得x＝Sa3322－．16．如图SAB是圆锥的轴截面，其中SO＝12，OB＝5．设圆锥内接圆柱底面半径为O1C＝x，由△SO1C∽△SOB，则COSO11＝OBSO，SO1＝OBSO·O1C＝