数字图像处理(图像变换)

数字图像处理武汉理工大学信息学院第4章图像变换(ImageTransform)4.1连续傅里叶变换4.2离散傅里叶变换4.3快速傅里叶变换4.4傅里叶变换的性质4.5图像傅里叶变换实例4.6其他离散变换一、图象变换的引入1.方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。2.目的：有利于加工、处理[滤除不必要信息(如噪声)，加强/提取感兴趣的部分或特征]。二、方法分类可分离、正交变换:2D-DFT,2D-DCT,1．提取图象特征（如）：（1）直流分量：f(x,y)的平均值=F(0,0)；（2）目标物边缘：F（u,v）高频分量。2．图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。3．图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。三、用途2D-DHT,2D-DWT。1、一维傅立叶变换及其反变换4.1连续傅里叶变换（ContinuousFourierTransform）j2:()()eduxFufxx1j2:()()eduxfxFuu4.1.1连续傅里叶变换的定义(DefinitionofContinuousFourierTransform)这里是实函数，它的傅里叶变换通常是复函数。的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：实部（4.3）虚部（4.4）振幅（4.5）xfuFuFdtuttfuR2cosdtuttfuI2sin2122uIuRuF4.1.1连续傅里叶变换的定义(DefinitionofContinuousFourierTransform)能量（4.6）相位（4.7）傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。设函数是连续可积的，且可积，则存在如下的傅里叶变换对：uIuRuFuE222uRuIuarctanyxf,vuf,4.1连续傅里叶变换的定义(DefinitionofContinuousFourierTransform)（4.8）（4.9）式中是频率变量。与一维的情况一样，二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为:vu、j2(,)(,)(,)edduxvyfxyFuvfxyxyFj21(,)(,)(,)edduxvyFuvfxyFuvuvF4.1连续傅里叶变换的定义(DefinitionofContinuousFourierTransform)傅里叶频谱：（4.10）相位：（4.11）能量谱：（4.12）2122,,,vuIvuRvuFvuRvuIvu,,arctan,vuIvuRvuE,,,224.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）函数的一维离散傅里叶变换由下式定义：（4.13）其中，。的傅里叶反变换定义为：（4.14）xfuF10/2:NxNuxjexfuF1,...,2,1,0Nu10/211:NuNuxjeuFNxf傅里叶频谱：相位:能量谱uIuRuF22uRuIu/arctanuIuRuFuP2224.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散傅里叶变换定义为：（4.16）式中，。二维离散傅里叶反变换定义为（4.17）4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）1010/)(21,NxNyNvyuxjexfNvuF1,...,1,0Nu1,...,1,0Nv1010/)(2,1,NuNvNvyuxjevuFNyxf式中，式中是频率变量。与一维的情况一样，二维函数的离散傅里叶谱、能量和相位谱为:傅里叶频谱：相位：能量谱：4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）1,...,1,0Nx1,...,1,0Nyvu、vuIvuRvuF,,,22vuRvuIvu,,arctan,vuIvuRvuFvuP,,,,222例4.1一个简单二维函数的中心谱。图4.1（a）显示了在像素尺寸的黑色背景上叠加一个像素尺寸的白色矩形。4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）5125124020图4.1（a）此图像在进行傅里叶变换的计算之前被乘以，从而可以使频率谱关于中心对称，如图4.1（b）所示。在图4.1（b）中，方向谱的零点分割恰好是方向零点分隔的两倍。yx1uv4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）（a）（b）图4.1（a）在大小为黑色背景上叠加一个尺寸为的白色矩形的图像，（b）应用了对数变换后显示的中心傅里叶谱5125124020符合图像中的矩形尺寸比例（遵照傅里叶变换4.4.6节的尺度变换性质）。在显示之前频率谱用式（对数处理见前章3.2.2）中的对数变换处理以增强灰度级细节。变换中使用的值可以降低整体强度。在本章显示的多数傅里叶频率谱都用对数变换进行了相似的处理。4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）2:15.0c例4.2图象的二维离散傅立叶频谱。％读入原始图象I=imread(‘i_peppers_gray.bmp’);imshow(I)%求离散傅立叶频谱J=fftshift(fft2(I));%对原始图象进行二维傅立叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置figure（2）;imshow(log(abs(J)),[8,10])其结果如图4.2所示4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）（a）原始图像（b）离散傅里叶频谱图4.2二维图像及其离散傅里叶频谱的显示4.2离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换(DFT)的一种算法。这种方法是在分析离散傅里叶变换(DFT)中的多余运算的基础上，进而消除这些重复工作的思想指导下得到的，所以在运算中大大节省了工作量，达到了快速的目的。4.3快速傅里叶变换(FastFourierTransform)对于一个有限长序列，它的傅里叶变换由下式表示:（4.18）令因此，傅里叶变换对可写成下式（4.19）4.3快速傅里叶变换(FastFourierTransform)10Nxxf10NnuxnWxfuFNjNNjNeWeW212,10NxuxNWxfuF从上面的运算显然可以看出要得到每一个频率分量，需进行次乘法和次加法运算。要完成整个变换需要次乘法和次加法运算。当序列较长时，必然要花费大量的时间。观察上述系数矩阵，发现是以为周期的，即（4.21）4.3快速傅里叶变换(FastFourierTransform)N1N2N1NNuxNWNuxNKNxLNuNWW4.4.1可分离性（Separability）4.4傅里叶变换的性质(CharacteristicsofFourierTransform)11j2()/001(,)(,)eNNuxvyNxyFuvfxyN,1,1010/2/2NxNyNvyjNuxjeyxfeNvuF1j2/01(,),e0,1,,1NvyNyFxvNfxyvNN1j2π/01,,,0,1,,1NuxNxFuvFxveuvNN每1列求变换再乘以N,Fxv再对每1行求傅里叶变换可分离性（Divisibility）4.4傅里叶变换的性质(CharacteristicsofFourierTransform)F(x, v)图4.5由2步1-D变换计算2-D变换11j2()/001(,)(,)eNNuxvyNuvfxyFuvN,1,1010/2/2NuNvNvyjNuxjevuFeNyxf4.4傅里叶变换的性质(CharacteristicsofFourierTransform)4.4傅里叶变换的性质(CharacteristicsofFourierTransform)4.4.2平移性质（Translation）00j2/00(,)e(,)uxvyNfxyFuuvv00j2/00(,)(,)euxvyNfxxyyFuv)()1(1yxjyxjee,fxy与一个指数相乘等于将变换后的频率域中心移到新的位置。,fxy的平移将不改变频谱的幅值（amplitude）。傅里叶变换和反变换均以为周期，即（4.29）上式可通过将右边几项分别代入式（4.16）来验证。它表明，尽管有无穷多个和的值重复出现，但只需根据在任一个周期里的个值就可以从得到。4.4傅里叶变换的性质(CharacteristicsofFourierTransform)NNvNuFNvuFvNuFvuF,,,,vuF,uvNvuF,yxf,4.4.3周期性和共轭对称性（PeriodicityandConjugateSymmetry）如果是实函数，则它的傅里叶变换具有共轭对成性（4.30）（4.31）4.4傅里叶变换的性质(CharacteristicsofFourierTransform)yxf,vuFvuF,,vuFvuF,,4.4傅里叶变换的性质(CharacteristicsofFourierTransform)4.4.4旋转性质（Rotation）(,),fxyFuv00(,)(,)frFwcosxrsinyrcosuwsinvw(,)fxy0(,)Fuv0上式表明，对旋转一个角度对应于将其傅里叶变换也旋转相同的角度例4.4二维离散傅立叶变换的旋转性（具体程序参见书）。（a）原始图像（b）原图像的傅（c）旋转后的图像（d）旋转后图像的里叶频谱傅里叶频谱上例表明，对旋转一个角度对应于将其傅里叶变换也旋转相同的角度。4.4傅里叶变换的性质(CharacteristicsofFourierTransform)yxf,vuF,00分配律(DistributionLaw)根据傅里叶变换对的定义可得到：（4.33）上式表明傅里叶变换和反变换对加法满足分配律，但需注意对乘法则不满足，一般有：（4.34）4.4傅里叶变换的性质(CharacteristicsofFourierTransform)yxfyxfyxfyxf,,,,2121yxfyxfyxfyxf,,,,21214.4.5分配律（DistributionLaw）4.4傅里叶变换的性质(CharacteristicsofFourierTransform)4.4.6尺度变换（Scaling）vuaFyxaf,,bvauFabbyaxf,1,4.4傅里叶变换的性质(CharacteristicsofFourierTransform)【例4.5】比例尺度展宽。（a）原始图像（b）比例尺度展宽前的频谱（c）比例尺度a=0.1，b=1，展宽后的频谱对一个2-D离散函数，其平均值可用下式表示：（4.37）当正反变换采用相同的标度数时，傅里叶变换域原点的频谱分量为：4.4傅里叶变