直线与圆知识点总结及例题

1直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围,0。如（1）直线023cosyx的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，）；倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.（2）过点),0(),1,3(mQP的直线的倾斜角的范围m那么],32,3[值的范围是______（答：42mm或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)Pxy、222(,)Pxy的直线的斜率为212121xxxxyyk；（3）直线的方向向量(1,)ak，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线：ABBCkk。如(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,xy满足3250xy(31x)，则xy的最大值、最小值分别为______（答：2,13）3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yykxx,它不包括垂直于x轴的直线。直线的斜率0k时，直线方程为1yy；当直线的斜率k不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1xx.（2）斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点式：已知直线经过111(,)Pxy、222(,)Pxy两点，则直线方程为121121xxxxyyyy，它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角为00或090的直线，两点式应变为))(())((121121yyxxxxyy的形式.（4）截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为,ab,则直线方程为1byax，它不包括垂直于坐标轴的直线2和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0AxByC(A,B不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(－1,3)的直线的点斜式方程是___________（答：13(2)yx）；（2）直线(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎样变化恒过点______（答：(1,2)）；（3）若曲线||yax与(0)yxaa有两个公共点，则a的取值范围是_______（答：1a）提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。如过点(1,4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；（2）知直线横截距0x，常设其方程为0xmyx(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()ykxxy，当斜率k不存在时，则其方程为0xx；（4）与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC；（5）与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)Pxy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB；（2）两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。6、直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC的位置关系：（1）平行12210ABAB（斜率）且12210BCBC（在y轴上截距）；（2）相交12210ABAB；（3）重合12210ABAB且12210BCBC。提醒：（1）111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线1111:0lAxByC与直线2222:0lAxByC垂直12120AABB。如（1）设直线1:60lxmy和2:(2)320lmxym，当m＝_______时1l∥2l；当m＝________时1l2l；当m_________时1l与2l相交；当m＝_________时1l与2l重合（答：3－1；12；31且mm；3）；（2）已知直线l的方程为34120xy，则与l平行，且过点（—1，3）的直线方程是______（答：3490xy）；（3）两条直线40axy与20xy相交于第一象限，则实数a的取值范围是____（答：12a）；（4）设,,abc分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sin0Axayc与sinsin0bxByC的位置关系是____（答：垂直）；（5）已知点111(,)Pxy是直线:(,)0lfxy上一点，222(,)Pxy是直线l外一点，则方程1122(,)(,)(,)fxyfxyfxy＝0所表示的直线与l的关系是____（答：平行）；（6）直线l过点（１，０），且被两平行直线360xy和330xy所截得的线段长为9，则直线l的方程是________（答：43401xyx和）7、特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．8、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如（1）已知点(,)Mab与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线0xy对称，则点Q的坐标为_______（答：(,)ba）；（3）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________（答：3y=3x＋）；（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________（答：18x510y＋）；（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程（答：29650xy）；（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______（答：（5,6））；（7）已知Ax轴，:Blyx，C（2，1），ABC周长的最小值为______（答：10）。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9.（1）直线过定点。如直线（3m+4）x+(5-2m)y+7m-6=0,不论m取何值恒过定点（-1，2）（2）直线系方程（1）与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法:Ax+By+m=0(m≠C)(2)与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法:Bx-Ay+m=0（3）经过直线1l∶1Ax+1By+1C=0，2l∶2Ax+2By+2C=0交点的直线设法：1Ax+1By+1C+λ（2Ax+2By+2C）=0（λ为参数，不包括2l）（3）关于对称（1）点关于点对称（中点坐标公式）（2）线关于点对称（转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行）（3）点关于线对称（点和对称点的连线被线垂直平分，中点在对称轴上、kk’=-1二个方程）4（4）线关于线对称（求交点，转化为点关于线对称）10、圆的方程：⑴圆的标准方程：222xaybr。⑵圆的一般方程：22220(DE4F0)＋－xyDxEyF，特别提醒：只有当22DE4F0＋－时，方程220xyDxEyF才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆（二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是什么？（0,AC且0B且2240DEAF））；⑶圆的参数方程：cossinxarybr（为参数），其中圆心为(,)ab，半径为r。圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos,sinxyrxryr；22xytcos,sin(0)xryrrt。⑷1122A,,,xyBxy为直径端点的圆方程12120xxxxyyyy如（1）圆C与圆22(1)1xy关于直线yx对称，则圆C的方程为____________（答：22(1)1xy）；（2）圆心在直线32yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：9)3()3(22yx或1)1()1(22yx）；（3）已知(1,3)P是圆cossinxryr（为参数，02)上的点，则圆的普通方程为________，P点对应的值为_______，过P点的圆的切线方程是___________（答：224xy＝；23；340xy）；（4）如果直线l将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是____（答：[0，2]）；（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：21k）；（6）若3cos{(,)|3sinxMxyy（为参数，0)}，bxyyxN|),(，若NM，则b的取值范围是_________（答：3,32－）11、点与圆的位置关系：已知点00M,xy及圆222C0：x-aybrr，（1）点M在圆C外22200CMrxaybr；（2）点M在圆C内22200CMrxaybr；（3）点M在圆C上20CMrxa220ybr。如点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______（答：131||a）12、直线与圆的位置关系：直线:0lAxByC和圆222C：xaybr0r有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直5线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（1）圆12222yx与直线sin10(,2xyRk，)kz的位置关系为____（答：相离）；（2）若直线30axby与圆22410xyx切于点(1,2)P，则ab的值____（答：2）；（3）直线20xy被曲线2262xyxy150所截得的弦长等于（答：45）；（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（