一轮复习第节函数的奇偶性与周期性

一、函数的奇偶性奇偶性定义函数图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内x都有，那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内x都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称任意一个f(－x)＝f(x)任意一个f(－x)＝－f(x)y轴原点1．奇(偶)函数的定义域有何特点？提示：若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称．反之，若函数的定义域不关于原点对称，则该函数无奇偶性．二、奇偶函数的性质1．奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(填“相同”、“相反”)．2．在相同的定义域内(1)两个奇函数的和是，两个奇函数的积是．(2)两个偶函数的和、积是．(3)一个奇函数，一个偶函数的积是．3．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.4．若f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数2．若f(x)是偶函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0?提示：不一定，如f(x)＝x2＋1，而f(0)＝1.三、周期性1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一个最小最小3．对称性与周期性的关系(1)若函数f(x)关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期；(2)若函数f(x)关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期；(3)若函数f(x)关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．3．一个函数若具有周期性，其周期唯一吗？提示：若T为函数y＝f(x)的周期，则kT(k≠0)也为函数的周期，故周期不唯一．1．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．令F(x)＝f(x)＋|g(x)|，F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)．故F(x)为偶函数，即f(x)＋|g(x)|是偶函数．答案：A2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)解析：∵f(x)是偶函数且在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝f(－2)＝0，可画示意图如图所示，由图知f(x)＜0的解集为(－2,2)．答案：D3．(2013·长沙模拟)函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数．若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于()A．－9B．9C．－3D．0解析：∵f(－x)＝f(x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴f(－2＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是函数f(x)的一个周期，∴f(8.5)＝f(0.5)＝9，故应选B.答案：B4．(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x＜0，bx＋2x＋1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f12＝f32，则a＋3b的值为________．解析：由题意f12＝f32＝f－12.所以b2＋232＝－12a＋1，∴32a＋b＝－1①；又f(－1)＝f(1)，∴b＝－2a②，解①②得a＝2，b＝－4，∴a＋3b＝－10.答案：－105．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，下面关于f(x)的判定，其中所有正确命题的序号为________．①f(4)＝0；②f(x)是以4为周期的函数；③f(x)的图象关于x＝1对称；④f(x)的图象关于x＝2对称．解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(4)＝f(0)＝0.又f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称．综上①②③正确．答案：①②③【考向探寻】1．运用函数奇偶性的定义判断．2．运用函数图象判断．3．抽象函数的奇偶性的判断，注意挖掘函数“原形”，常采用“赋值”等策略．【典例剖析】(1)已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)为________函数．(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)(2)讨论下列函数的奇偶性：①f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；②f(x)＝－x2＋2x＋1x＞0，x2＋2x－1x＜0；③f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(理)④f(x)＝lg1x2＋1－x.(1)令x＝y＝0，得f(0)；然后令y＝－x，判断f(x)与f(－x)的关系即可．(2)首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(－x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数)．(1)解析：显然f(x)的定义域是R，关于原点对称．又∵函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．答案：奇(2)解：①定义域要求1－x1＋x≥0且x≠－1，∴－1＜x≤1，∴f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)不存在奇偶性．②令－x2＋2x＋1＝g(x)，则g(－x)＝－x2－2x＋1，∴x2＋2x－1＝－g(－x)，∴f(x)＝gxx＞0，－g－xx＜0，∴f(x)是奇函数．③∵4－x2≥0，|x＋3|≠3⇒－2≤x≤2且x≠0，∴函数定义域关于原点对称．f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，又f(－x)＝4－－x2－x＝－4－x2x，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．(理)④函数f(x)定义域为R，∴f(x)＝lg1x2＋1－x＝lg(x2＋1＋x)∴f(－x)＝lg(x2＋1－x)∴f(x)＋f(－x)＝lg(x2＋1－x2)＝0，∴f(x)为奇函数．【互动探究】在本例(1)中增加条件“若x0时，f(x)0”试判断f(x)的单调性，则如何求解．解：设x2x1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)∵x2x1，∴x2－x10，∴f(x2－x1)0，∴f(x2)f(x1)，∴函数f(x)为减函数．(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判定步骤①分析其定义域是否关于原点对称；②对x的值进行分段讨论，寻求f(x)与f(－x)在各段上的关系；③综合(2)在定义域内f(－x)与f(x)的关系，从而判断f(x)的奇偶性．(3)抽象函数奇偶性判定的步骤①巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；②找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论．函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f(x)和f(－x)必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提.【考向探寻】1．利用函数的奇偶性求函数的解析式．2．利用函数的奇偶性求参数的值．【典例剖析】(1)(2013·广州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，则f(x)的值域为A.1，49B.1，427C.1，3127D.1，2427(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－2x，求当x0时，f(x)＝________.(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(2)，求实数a的取值范围．(1)偶函数定义及定义域对称→确定a、b的值→函数fx解析式→函数值域(2)x0，则－x0→将fx中的x换为－x→根据奇函数求fx(3)fa≥f2→转化为f|a|≥f2→|a|≤2→a的范围(1)解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b在[a－1,2a]上为偶函数，∴a－1＋2a＝0，b＝0，解得a＝13，b＝0.∴f(x)＝13x2＋1，∴函数f(x)＝13x2＋1在－23，23上的值域为1，3127.答案：C(2)解析：当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．故f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)，因此当x0时，f(x)＝－x2－2x.答案：－x2－2x(3)解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(|a|)＝f(a)，则f(a)≥f(2)⇔f(|a|)≥f(2)，又f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴f(|a|)≥f(2)⇔|a|≤2，解得－2≤a≤2.根据奇偶性讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在两个对称区间上的单调性相同；偶函数在两个对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．函数的奇偶性体现的是一种对称关系．【活学活用】1．(1)函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则a的值为________．解析：由f(x)为偶函数得f(－x)＝f(x)，即(a－1)x2－(a2－1)x＋1＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1.∴a2－1＝0，∴a＝±1.答案：±1(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－3)＝________.解析：f(－3)＝－f(3)＝－log2(3＋1)＝－2.答案：－2(3)已知函数f(x)＝ax2＋1bx＋c(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(2)3，f(1)＝2，求a，b，c的值．解：∵函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即ax2＋1－bx＋c＝ax2＋1－bx－c，∴c＝0，即f(x)＝ax2＋1bx.又f(1)＝2，∴a＋1b＝2，即a＋1＝2b.又∵f(2)＝4a＋12b3，∴4a＋1a＋13，即a－2a＋10，解得－1a2.∵a∈Z，∴a＝0或a＝1.当a＝0时，b＝12，与b∈Z矛盾，∴a≠0.当a＝1时，b＝1，符合题意，∴a＝1，b＝1，c＝0.【考向探寻】1．求函数的周期；2．利用函数的周期性求值．【典例剖析】(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，则f(2012)等于________．(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.①求证：f(x)是周期函数；②当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；③计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)．题号分析(1)根据f(x＋1)＝－f(x)求出周期，根据周期及f(0)＝0求值．(2)①根据定义求解；②由奇偶性确定[－2,0]上的解析式，再根据周期性求[2,4]上的解析式；③利用周期性求和.(1)解析：∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)．∴函数f(x)的周期为2.∴f(2012)＝f(0)．又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.答案：0(2)解：①证明：∵f(x＋