2016中考数学专题复习新定义题型(教师版)

小康老师中考数学专题复习--新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。近几年日照命题情况来看，该类题型为必考型，一般一道选择或填空再加一道答题，占12到18分。二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1（2013•湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=12，cos30°=32，则sin230°+cos230°=；①sin45°=22，cos45°=22，则sin245°+cos245°=；②sin60°=32，cos60°=12，则sin260°+cos260°=．③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=．④（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=35，求cosA．思路分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1；（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=BDAB，cosA=ADAB，则sin2A+cos2A=222BDADAB，再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1；（2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件cosA＞0且sinA=35，进行求解．解：∵sin30°=12，cos30°=32，∴sin230°+cos230°=（12）2+（32）2=14+34=1；①∵sin45°=22，cos45°=22，∴sin245°+cos245°=（22）2+（22）2=12+12=1；②∵sin60°=32，cos60°=12，∴sin260°+cos260°=（32）2+（12）2=34+14=1．③观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．∵sinA=BDAB，cosA=ADAB，∴sin2A+cos2A=（BDAB）2+（ADAB）2=222BDADAB，∵∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2，∴sin2A+cos2A=1．（2）∵sinA=35，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，∴cosA=2341()55．点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．对应训练1．（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：23AOAD；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足23AOAD，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究BCHGAGHSSV四边形的最大值．2.（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．∴DE是中位线，∴DE∥AC，且DE=12AC．∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE，∴AOACODDE=2，∵AD=AO+OD，∴AOAD=23．（2）答：点O是△ABC的重心．证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，AOAD=23，而AOAD=23，∴点Q与点O重合（是同一个点），∴点O是△ABC的重心．（3）解：如答图3所示，连接DG．设S△GOD=S，由（1）知AOAD=23，即OA=2OD，∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS．∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．设OH=k•OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S．∴BCHGAGHSSV四边形=(6-24)(22)xkSkS=3-21xkk①如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE．∵OF∥BC，∴23OFAOCDAD，∴OF=23CD=13BC；∵GE∥BC，∴11GEAGBCABx，∴GE=1BCx；∴131BCOFBCGEx=13x，∴13(1)OFxGEOFx=12xx．∵OF∥GE，∴OHOFGHGE，∴1-2-OHOFxOGGEOFx，∴k=12-xx，代入①式得：BCHGAGHSSV四边形=13-23-22-1112-xxxkxxkx=-x2+x+1=-（x-12）2+54，∴当x=12时，BCHGAGHSSV四边形有最大值，最大值为54．考点二：运算题型中的新定义例2（2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1=-5。（1）求（-2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．思路分析：（1）按照定义新运算a⊕b=a（a-b）+1，求解即可；（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a-b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．解：（1）∵a⊕b=a（a-b）+1，∴（-2）⊕3=-2（-2-3）+1=10+1=11；（2）∵3⊕x＜13，∴3（3-x）+1＜13，9-3x+1＜13，-3x＜3，x＞-1．在数轴上表示如下：点评：本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法，属于基础题，理解新定义法则是解题的关键．对应训练2．（2013•十堰）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．（1）如果[a]=-2，那么a的取值范围是．（2）如果[12x]=3，求满足条件的所有正整数x．2．解：（1）∵[a]=-2，∴a的取值范围是-2≤a＜-1；（2）根据题意得：3≤[12x]＜4，解得：5≤x＜7，则满足条件的所有正整数为5，6．考点三：探索题型中的新定义例3（2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2B．3C．4D．5思路分析：“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．解：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．故选C．点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．对应训练3.（2013•台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=32，求证：△ABC是“好玩三角形”；（3））如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求as的值；②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）3．解：（1）如图1，①作一条线段AB，②作线段AB的中点O，③作线段OC，使OC=AB，④连接AC、BC，∴△ABC是所求作的三角形．（2）如图2，取AC的中点D，连接BD∵∠C=90°，tanA=32，∴BCAC=32，∴设BC=3x，则AC=2x，∵D是AC的中点，∴CD=12AC=x∴BD=22223CDBCxx=2x，∴AC=BD∴△ABC是“好玩三角形”；（3）①如图3，当β=45°，点P在AB上时，∴∠ABC=2β=90°，∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，∵PC=CQ，∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，∴△AEF∽△CEP，∴2AEAFABBPsCEPCPCas．∵PE=CE，∴2AEsPEas．Ⅰ当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时，2AEsPEas=2，∴as=34，Ⅱ当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，作QN⊥AP于N，如图4∴MN=AN=12MP．∴QN=15MN，∴tan∠APQ=153QNMNPNMN=153，∴tan∠APE=2AEsPEas=153，∴as=1510+12。②由①可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，∴153＜tanβ＜2时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．（4）由（3）可以知道0＜tanβ＜153，则在P、Q的运动过程中，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2．考点四：开放题型中的新定义例4（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．思路分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在»BC上任意