数字信号处理课件(1-4)

第1章时域离散信号和时域离散系统掌握常见时域离散信号的表示及运算。掌握时域离散系统的线性、时不变性、因果性及稳定性的含义及判别方法。掌握采样定理。信号的定义：是信息的载体，是传输信息的函数，这种信息通常是一个物理系统的状态或特性。信号的分类：模拟信号离散信号数字信号1.1引言信号处理信号处理是研究系统对含有信息的信号进行处理（变换），以获得人们所希望的信号，从而达到提取信息、以便利用的一门学科。1.1引言系统分类：模拟系统数字系统1.1引言数字信号处理数字信号处理就是把用数字或符号，通过计算机或者通用（专用）的信号处理设备，用数字的数值计算的方法进行处理，以达到提取信息便于应用的目的。1.1引言数字信号处理的特点灵活性高精度和高稳定性便于大规模集成可以实现模拟系统无法实现的诸多功能1.1引言1.2时域离散信号离散时间信号（序列）只在离散时刻给出函数值，是时间上不连续的序列。实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间隔采样便可以得到时域离散信号。假设模拟信号为xa(t)，以采样间隔T对它进行等间隔采样，得到：nnTxtxnxnTt-)()()(aa＝注意：n为整数思考：序列的表示方法有哪些？离散时间信号及其时域表示离散时间信号在物理上是指定义在离散时间上的信号样品的集合，在数学上可用时间序列{x(n)}来表示。样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟信号通过采样得来的或者是用计算机产生的x(n)代表序列的第n个样点的数字，n代表时间的序号。1.2时域离散信号离散时间信号的时域表示*表示离散时间信号的方法可采用枚举的方式。例如{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2，…}箭头表示时间的零点位置*离散信号也可用公式表示例如1,01,0)(sin)(bnbananxnnnxnn*离散信号还可用图形的方式表示图中横坐标n表示离散的时间坐标，且仅在n为整数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列全体{x(n)}。本书中，离散时间信号与序列将不予区分。一、典型序列1．单位采样序列δ(n)0001)(nnn单位采样序列的作用：表示任意序列mmnmxnx)()()(例1.写出图示序列的表达式)3(5.1)2(2)1()(2)1()(nnnnnnx2、单位阶跃序列u(n)0001)(nnnu0)()()()()1()()(knmknnumnununun或的关系？与)()(nun3．矩形序列RN(n)nNnnRN其它0101)(10)()]1([)2()1()()(NkNknNnnnnnR列的关系：矩形序列与单位阶跃序)()()(NnununRN关系：矩形序列与单位序列的4．实指数序列为实数，anuanxn)()(5.复指数序列njenx)(0)(式中ω0为数字频率njenenxnn00sincos)(将复指数表示成实部与虚部其示意图如下：6.正弦序列()sin()xnAn正弦与余弦序列示意图如下：7．周期序列定义：如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。nNnxnx),()(例2、求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(nnnnn80N16N5N非周期信号二、序列的运算1．加法和乘法序列之间的加法和乘法，是指同一时刻的序列值逐项对应相加和相乘。2．移位移位序列x(n－n0)，当n00时,称为x(n)的延时序列；当n00时，称为x(n)的超前序列。例3已知x(n)波形，画出x(n-2)及x(n+2)波形图。3.翻转以纵轴为对称翻转。例4、已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。4.尺度变换（抽取和零值插入）抽取：x(Dn)是x(n)序列每连续D点取一点形成的序列，D为正整数。零值插入：x[(1/C)n]表示把序列的两个相邻抽样值之间插入C-1个零值，C为正整数。例5、已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。思考：x(3n)及x(n/3)呢？5.差分序列的差分运算指同一序列相邻的两个样点之差，分为前向差分和后向差分。)()1()(nxnxnx前向差分：)1()()(nxnxnx后向差分：比较上面两式，显然有)1()(nxnx6.卷积和定义：计算方法：（1）图示法（图解法）：换元-反转-平移-相乘-求和（2）列表法（3）解析法mmnhmxnhnx)()()(*)()(*)(0203)(0302/)(6nhnxnnnhnnnx求其他，其他、设例}23,4,7,423,0{)(*)(，答案：nhnx1.3时域离散系统)()(nxTny一、线性系统系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即)()()()(2211nxTnynxTny)()()()()()(112121naynaxTnynynxnxT齐次性：可加性：若统满足叠加原理)()()()()()()(,)()(,)()(2211221122112211nyanyanxTanxTanxanxaTnynxTnynxTny线性系统那么该系统就是线性系统。例7、判断y(n)=ax(n)+b(a和b是常数）所代表系统的线性性质。故系统是非线性的。，则输出为设与所对应的输出分别为与解：设输入)()()()()()()()()()()()()(2211221133221132121nymnymbnxamnxambnaxnynxmnxmnxnynynxnx二、时不变系统如果系统对输入信号的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：为整数）（000)()()()(nnnxTnnynxTny例8、判断y(n)=nx(n)代表的系统是否是时不变系统。故系统是时变系统。即而的输出，则是系统对输入解：设)()()()()()()()()()()(dddddddddddnnynynnxnnnnynnnxnnxnynnxnxny例9、判断y(n)=ax(n)+b(a和b是常数）所代表系统是否是时不变系统。三、LTI系统输入与输出之间的关系单位脉冲响应LTI系统的输出)()(|)()(nnxzsnynh)()()(nhnxny解释：LTI系统卷积和性质：代数运算性质（交换律、结合律、分配律）延迟性质典型信号的卷积)()(*)()()(*)(21221121mmnymnxmnxnynxnx则若nmmxnunxnxnnx)()(*)()()(*)(*交换律)()()()()(nxnhnhnxny)()()()()()()()()()()()(211221nhnxnhnhnxnhnhnxnhnhnxny*结合律卷积的性质若有两个级联系统h1(n)和h2(n)，如图所示，则有)()()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnxny*分配律若有两个并联系统h1(n)和h2(n)，如图所示，则有以上两图中的系统分别等效四、系统的因果性和稳定性因果性：当且仅当信号激励系统时，才产生响应的系统，也称为不超前响应系统。LTI系统具有因果性的充要条件：判断一个系统是否为因果，有两种方法。定义法和充要条件，后者只对LTI系统有效。0,0)(nnh证明：充分性若n0,h(n)=0，则利用卷积公式，对于任何输入x(n)，其输出为mmnhmxny)()()(对某个时刻n0，其输出y(n0)为0)()()(00nmmnhmxny上式表明n0时刻的输出y(n0)只与m≤n0的所有x(m)有关，而与mn0的x(m)无关。因此，该系统为因果性系统。下面证明线性时不变因果系统的充要条件100000)()()()()(nmnmmnhmxmnhmxny必要性：采用反证法。假定系统为因果性系统，但在n0时h(n)≠0，按卷积公式，对于任何输入x(n)，n0时刻的其输出y(n0)为这样，由于n0时h(n)≠0，上式中右边的第二项和式中至少有一项不为零，也就是说，n0时刻的输出y(n0)与一个mn0的x(m)有关，与系统是因果性系统的假设矛盾。因此必须有n0时h(n)=0。证毕。稳定性：有界输入（指幅度有界），有界输出LTI系统稳定的充分必要条件：系统的单位脉冲响应绝对可和，即nnh|)(|例9、设LTI系统的单位系统脉冲响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。时，系统不稳定。时，系统稳定；）稳定性（，因此系统是因果的。时，由于）因果性：解：（1||1||1||1||||11|||)(|:20)(010aaaaaanhnhnnnn1.4时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程N阶线性常系数差分方程表示：式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bj均为常数.1)()(000ajnxbinyaMjjNii线性常系数差分方程的求解经典解法（实际中很少采用）递推解法（方法简单，但只能得到数值解，不易直接得到公式解）变换域法（Z域求解，方法简便有效）递推解法例10、设因果系统用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，输入x(n)=δ(n)若初始条件y(-1)=0，求输出序列y(n)。及解：由初始条件0)1(y得差分方程)()1()(nxnaxny)()()(,)2()1()2(,2)1()0()1(11)0()1()0(,02nuanyanynnaδayynaδay，ynδayynnn时时时时若初始条件改为y(-1)=1，求y(n))()1()(1)1(nxnaxnyy方程，初始条件)()1()()1()(,)1()2()1()2(,2)1()1()0()1(,11)0()1()0(,02nuaanyaanynnaaδayynaaδayynaδayynnn时时时时例11、设差分方程如下，求输出序列y(n)。0,0)(),()()()1()(nnynδnxnxnayny，))()(()1(1nδnyany解：0,)())1()1(()2(,1))0()0(()1(,00))1()1(()0(,121111nanyaδyaynaδyaynδyaynn时时时非因果系统结论差分方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性时不变系统，这和系统的初始状态有关。课堂练习1、以下序列是LTI系统的单位序列响应h(n)，判断系统的因果性和稳定性。)1(3.0)2()4(1nunn）（答案（1）非因果、稳定（2）非因果、不稳定。课堂练习)(*)()()3()(),2(2)1(3)(22121nxnxnxnunuxnnnx，求、已知}2,5,6,4,1{)(nx答案：