基本不等式-(共37张PPT)

第四节基本不等式[小题热身]1．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B、C，当a0，b0时，明显错误．对于D，∵ab0，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2.答案：D2．(2017·郑州模拟)设a0，b0.若a＋b＝1，则1a＋1b的最小值是()A．2B.14C．4D．8解析：由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案：C3．已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23解析：由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时等号成立．答案：B4．(2017·兰州一模)在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A．y＝x＋1xB．y＝cosx＋1cosx(0xπ2)C．y＝x2＋3x2＋2D．y＝ex＋4ex－2解析：当x0时，y＝x＋1x≤－2，故A错误；因为0xπ2，所以0cosx1，所以y＝cosx＋1cosx2，故B错误；因为x2＋2≥2，所以y＝x2＋2＋1x2＋2≥2中等号取不到，故C错误；因为ex0，所以y＝ex＋4ex－2≥2ex·4ex－2＝2，当且仅当ex＝4ex，即ex＝2时等号成立，故选D.答案：D5．已知a，b，∈(0，＋∞)，若ab＝1，则a＋b的最小值为________；若a＋b＝1，则ab的最大值为________．解析：由基本不等式得a＋b≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取到等号；ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b＝12时取到等号．答案：2146．若x1，则x＋4x－1的最小值为________．解析：∵x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．答案：5[知识重温]一、必记3●个知识点1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：①__________.(2)等号成立的条件：当且仅当②__________时取等号．(3)两个平均数：a＋b2称为正数a，b的③____________，ab称为正数a，b的④__________.a＞0，b＞0a＝b算术平均数几何平均数2．几个重要不等式(1)a2＋b2≥⑤______(a，b∈R)．(2)ab≤⑥__________(a，b∈R)．(3)a＋b22≤⑦__________(a，b∈R)．(4)ba＋ab≥⑧______(a·b＞0)．(5)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a＞0，b＞0)．2aba＋b22a2＋b2223．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当⑨__________时，x＋y有最小值是⑩______(简记：“积定和最小”)．(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当⑪__________时，xy有最大值是⑫__________(简记：“和定积最大”)．x＝y2px＝ys24二、必明2●个易误点1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．考向一利用基本不等式求最值[自主练透型][例1](1)3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B.92C．3D.322[解析]方法一3－aa＋6＝－a2－3a＋18＝－a＋322＋814，因为－6≤a≤3，所以当a＝－32时取得最大值814＝92.方法二∵－6≤a≤3，∴3－a≥0，a＋6≥0.而(3－a)＋(a＋6)＝9，由基本不等式得：(3－a)＋(a－b)≥23－aa＋6，即9≥23－aa＋6，∴3－aa＋6≤92，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－32时取等号．[答案]B(2)(2017·长春质检)设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.1a＋1b有最大值4B.ab有最小值12C.a＋b有最大值2D．a2＋b2有最小值22[解析]由于a0，b0，由基本不等式得1＝a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab≤12，∴ab≤14，1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，因此1a＋1b的最小值为4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－12＝12，(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋1＝2，所以a＋b有最大值2，故选C.[答案]C[悟·技法]利用基本不等式求最值的常用技巧(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．(3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致．提醒：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解．[通·一类]1．当x0时，f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解析：∵x0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．答案：12．若x3，则函数f(x)＝4x－3＋x的最大值为________．解析：∵x3，∴x－30，∴3－x0，∴f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋(x－3)＋3＝－43－x＋3－x＋3≤－243－x·3－x＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时，等号成立．故f(x)的最大值为－1.答案：－1考向二基本不等式的实际应用[互动讲练型][例2]“节能减排，绿色生态”是当今世界各国所倡导，某公司在科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该公司每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该公司每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该公司每月能否获利？[解析](1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx＝12x＋80000x－200≥212x·80000x－200＝200，当且仅当12x＝80000x，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该公司每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为x∈[400,600]，所以S∈[－80000，－40000]，故该公司每月不获利．[悟·技法]利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．———————[通·一类]———————3．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式．(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解析：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，建筑第1层楼房建筑费用为720×1000＝720000(元)＝72(万元)，楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1000＝20000(元)＝2(万元)，建筑第x层楼房的建筑费用为72＋(x－1)×2＝2x＋70(万元)，建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y＝f(x)＝72x＋xx－12×2＋100＝x2＋71x＋100，综上可知y＝f(x)＝x2＋71x＋100(x≥1，x∈Z)．(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，则g(x)＝fx×100001000x＝10fxx＝10x2＋71x＋100x＝10x＋1000x＋710≥210x·1000x＋710＝910.当且仅当10x＝1000x，即x＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．考向三基本不等式的综合应用[互动讲练型][例3](1)(2017·湖北华师一附中联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________；[解析]因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x×22y＝22x＋2y，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.[答案]2(2)(2017·浙江金丽衢十二校联考(一))若函数f(x)＝2x2－ax－1(a2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值是()A．0B.32C．1D.12[解析]由题意得f(x)＝2x2－ax－1＝2x－12＋4x－1＋2－ax－1＝2(x－1)＋2－ax－1＋4≥22x－1·2－ax－1＋4＝24－2a＋4，当且仅当2(x－1)＝2－ax－1，即x＝1＋2－a2时，等号成立，所以24－2a＋4＝6，即a＝32，故选B.[答案]B———————[悟·技法]———————基本不等式综合问题的解题策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值域范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．———————[通·一类]———————4．(2017·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是()A.12B.32C．1D．2解析：由题意可得a0，①当x0时，f(x)＝x＋ax＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号；②当x0时，f(x)＝x＋ax＋2≤－2a＋2，当且仅当x＝－a时取等号．所以2－2a＝0，2a＋2＝4，解得a＝1，故选C.答案：C5．(2017·贵阳一模)已知x0，y0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.92D.112解析：由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－(x＋2y2)2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y0，所以x＋2y≥4，故选B.答案：B