有理数的巧算2

梅陇中学唐丽娟【知识要点】1、会观察算式找规律来解决有理数的计算问题.2、善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理、简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．3．观察算式找规律例1某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．解：20名学生的数学期末考试的总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为90+(-1)÷20=89.95．分析：若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．平均数的简化运算例2计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析：观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1997+1999+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(1000个2000)=2000×1000．从而有S=1000000．“倒写相加”的值：计算例1011003255......55513分析：观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将原式各项都乘以5，所得新的式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．415154)1()2()2........(55......5555)..1.....(55.......55511021021021013210110032SSSS所以得所以解：设“错位相减”4．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4222100=这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为2222))((babababababa于是我们得到了一个重要的计算公式22))((bababa平分差公式例4计算（1）3001×2999．（2）103×97×100098999999913000130001300029993001122））（（）解（999999198110091009100910000310031002422））（（））（）（（）解原式（根据学生情况，适当的拓展例5计算：分析与解：直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347．可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为n-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得2即原式分母的值是1，所以原式=24690．））（）（）（）（）（（计算：例12121212121263216842.))(1212......2,2,22242了（运用公式），就可以连续递进地）的前面有一个（（平方，若在每个数都是前一个数的分析：式子中bababa12)12)(12(................)12.....(12)(12()12.....(12)(12)(12()12.....(121212126432323244324223242））））（）（）（（解原式例7计算：分析：在前面的例题中，应用过公式22))((bababa这个公式也可以反着使用，即))((22bababa2011101211)10998....433221)(1011910.......453423()1011)(911).......(311)(211(乘法公式的逆用因式分解公式平分差公式例8计算：我们用一个字母表示可以简化计算．【练习】1．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．2.计算下列各题(1)1+4+7+…+244；(2)1991×1999-1990×2000；1111112481632641111...1223341999200012345678...1997199819992000113113111122223...20;424424(3)(4)(5)(6)