最优捕捞策略

最优捕捞策略唐春华吴荣秋朱平平【摘要】本文建立了捕捞鳀鱼的优化策略模型，使此资源可持续开发且年收获量最大；并对某渔业公司提出捕捞建议，使总收获量最大。首先，以年为周期从离散的角度入手，利用递推的方法建立了一个初等线性递推模型并得到最优解。其次，考虑到鱼死亡时间的连续性，建立了相应的微分方程和差分方程模型，使得模型更具一般化。接着，我们以递推模型为基础，建立了生产能力约束条件下的捕捞模型。最后，我们对模型的优缺点进行了分析，并提出了相应的改进方法。【关键词】微分方程捕捞强度系数离散连续一、一、问题的重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业）的开发必须适度。一种合理简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。假设某种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，……，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。以及对某承包这种鱼捕捞业务的渔业公司，提出最优捕捞策略。同时提供了一种可再生资源的开发思路与管理模型。二、二、问题分析因为通常使用的鱼网只能捕捞3、4龄鱼，所以年收获量（捕捞总重量）是由3、4龄鱼的捕捞条数决定。由于3、4龄鱼的年捕捞量与其各自的条数成正比（比例系数称为捕捞强度系数ki）,同时按照题意要求：实现可持续收获，即每年开始捕捞时渔场中3、、4龄鱼各自的条数应该是一个固定不变的量，那末年收获量实质是由捕捞强度系数决定的量，因此可以把本题就转化为约束极值问题。通常情况下，渔业管理以一年为一个周期，则称“捕捞——产卵”为一个周期（每年的1到8月“捕捞”，后4月“产卵”），为满足可持续收获这一约束条件，可将问题看作多阶段。又因为上一年产卵成活1龄鱼的多少直接影响这一年2龄鱼的多少，这一年2龄鱼的多少直接影响下一年3龄鱼的多少……即各个阶段的各年龄组鱼群的数量存在必然联系，所以依据这些关系，我们可以从“离散”入手建立一系列的方程，然后在此基础上，利用微分方程处理“连续”的情况，逐步求得最优解。三、三、基本假设和符号说明（一）基本假设1、1、鱼群生活在稳定的环境中，不考虑鱼群的迁入和迁出，也不考虑鱼群的空间分布；2、2、1龄鱼、2龄鱼可以在一年即一个周期的任意时间内死亡；3、3、3龄鱼、4龄鱼死亡时间相对集中，在产卵之后、下一年开始捕获之前；4、4、成活的i龄鱼每经过一年即一个周期变为(1i)龄鱼)3,2,1(i，而4龄鱼不变；5、5、假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第T年底第i年龄组的鱼的条数等于第T年初第i+1年龄组的鱼的条数。6、6、各年龄组鱼的平均重量和自然死亡率稳定，不考虑由于饲养技术、环境等因素引起变化；7、7、只考虑采用固定努力量捕捞方式下的捕捞策略；（二）符号说明符号意义说明单位Fi(T)第T年初i龄鱼的总条数,nTi,2,1;4,3,2,1未知量条)(TtNi第T年t时间的i龄鱼的条数,)1,0(t未知量条S年收获量（年捕捞总量）未知量克ik捕捞强度系数（i=3,4）未知量r鱼的自然死亡率已知量1/年n平均每条4龄鱼的产卵量已知量个t时间，可以取（0，1）区间的任意实数变量年T时间，可以取任意自然数变量年四、四、模型建立及求解（一）（一）模型1首先，我们把整个过程以年为单位离散化来处理，通过假设使得1、2、3龄组的鱼群可能经不同时间成长变化为2、3、4龄组的鱼群，同时使得3、4龄鱼捕获期与产卵期分离且死亡时间集中。对于1龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼产卵、孵化成活数决定，则，nkrTFnkrTFTF5.0)1()1()1(1022.11022.15.0)1()1()1()(331111331nkrTFnkrTF)1()1()1(1022.11022.1)1()1()1(34111144………………………………（1-1）对于2龄鱼，每年初的条数是由前一年1龄鱼成活数决定，则)1()1()(12rTFTF……（1-2）对于3龄鱼，每年初的条数是由前一年2龄鱼成活数决定，则，)1()1()(23rTFTF……（1-3）对于4龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼成活数决定，则，)1()1()1()1()1()1()(33444krTFkrTFTF……（1-4）题目要求“实现可持续捕获”，即每一年初的各年龄组鱼群条数等于前一年的条数，建立等式如下，)1()(TFTFii4,3,2,1i……（1-5）根据题目已知条件，“只能捕获3龄鱼和4龄鱼，捕获强度系数之比为0.42：1”，则4342.0kk………（1-6）由于题目要求在“实现可持续捕获”前提下达到最高的捕获量，且“只能捕获3龄鱼和4龄鱼”，则年收获量等于3、4龄鱼捕获的条数与各自的平均重量乘积的和，建立函数关系为max3344)(86.17)(99.22kTFkTFS……（1-7）把（1）至（6）式作为约束条件，（7）式作为目标函数，即max3344)(86.17)(99.22kTFkTFSs.tnkrTFnkrTFTF5.0)1()1()1(1022.11022.15.0)1()1()1()(331111331nkrTFnkrTF)1()1()1(1022.11022.1)1()1()1(34111144……（1-1）)1()1()(12rTFTF……（1-2）)1()1()(23rTFTF……（1-3）)1()1()1()1()1()1()(33444krTFkrTFTF……（1-4）)1()(TFTFii4,3,2,1i……（1-5）4342.0kk……（1-6）根据已知条件：r=0.8，n=1.109×105,解方程得到：k4=0.97,k3=0.4074，最后3龄鱼的数目约为4龄鱼的8.3868倍，其中3龄鱼的数目为2.5142×109条，4龄鱼的数目为2.9978×108条。（二）（二）模型2因为3、4龄鱼的死亡时间与1、2龄鱼同样具有不确定性：可以为一年的任意时间点，而模型1是在假定3、4龄鱼的死亡时间在一个确定的时间范围内建立的，所以在模型2中我们重点对模型1的这一部分进行整改。思路为：先考虑第T年（T为一个确定值）内的任意t时刻（t∈(0,1)）3、4龄鱼的条数，然后把T也作为变量，递推出第T+1年的情况。首先，我们假设3、4龄鱼可以在一年的任意时间点死亡，把第T年（这里T为定值）的t时刻3、4龄鱼各自的条数),(TtNi看作t的连续函数。),(TttNi在t)0(t时间内的变化量)},(),({TtNTttNii，等于它的变化率（假定为α）与t以及),(TtNi三者的积)},({TtNti，由此建立微分方程如下，iiNdtdN……（2-1）然后，考虑α的取值。第一，由题目已知鱼的自然死亡率r，则定义（1—r）为自然存活率，是α的一个因子；第二，在一定水域范围内所能容纳的各种鱼群总数是有限的（定义为Mi）。根据鱼类饲养知识，Mi与鱼的增长是负相关的，当Ni=Mi时，Ni不再增长，则可以构造)),(1(iiMTtN作为α的一个因子；第三，因为一年内前8个月存在捕捞情况，而后4个月没有，则应该分段的来处理α的取值。前者存在一个)1(ik因子，而后者没有；第四，由于T一个固定值，所以暂时不考虑（i-1）类鱼的转化为i龄鱼;综上所诉，得到以下微分方程式，),()1)(),(1)(1(TtNkMTtNriiii)32,0(tdtdNi()4,3i),()1)(),(1)(1(TtNkMTtNriiii)1,32(t……（2-2）通过以上微分方程可以求得),(TtNi关于t的连续函数：令),0(TNi为第T年的初始状态，erktTNii)1)(1(),0()32,0(t),(TtNiertTNi)1(),0()1,32(t……（2-3）将),(4TtN、),(3TtN代入目标函数有：444442.02.0)1(29.386.172.0)142.0(1.1099.22kktkktSee……（2-4）st：104k320t下面采用逐步搜索法求解S的最大值及相应的捕捞系数k4,结果为：96.04k，4032.042.096.03k，S=357646(吨)（三）（三）模型3通过前面的分析可知：从整体上看，各龄鱼的数目在不同年份是一个离散模型。因此，以年为单位把鱼生长期按年龄离散化，可得到一个离散模型：)),(()1,(TtNGTtNii该式子用来描述第i龄鱼在第T+1年的数目与第i龄鱼在第T年的数目之间的函数关系，这实际上是一个差分方程。假设相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的，即第T年底第i年龄组的鱼的条数等于第T年初第i+1年龄组的鱼的条数。对于题目中的第二问，要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，可以理解为捕捞5年后鱼群的年龄组成尽量接近于可持续捕捞时鱼群的年龄组成。由于只有3、4龄鱼可产卵繁殖为1龄鱼，且只有3、4龄鱼可被捕捞，所以3、4龄鱼的数量变化对1龄鱼影响最大，即1龄鱼对捕捞策略的贡献最大。因此，只需要控制每年初1龄组鱼群的数量尽量接近于可持续捕捞时1龄组鱼群的组成即可。这样，上述离散模型变为：)),(()1,(11TtNGTtN结合模型1，考虑每年的捕捞强度系数不相同的情况，TTkk,3,4和分别表示第T年的捕捞强ektkSS2.0)2442.1(88.2564化简有：将度系数，对于1龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼产卵、孵化成活数决定，则，nkrTNnkrTNTNTT5.0)1()1()1,0(1022.11022.15.0)1()1()1,0(),0(,331111,331nkrTNnkrTNTT)1()1()1,0(1022.11022.1)1()1()1,0(,441111,44……（3-1）对于2龄鱼，每年初的条数是由前一年1龄鱼成活数决定，则)1()1,0(),0(12rTNTN……（3-2）对于3龄鱼，每年初的条数是由前一年2龄鱼成活数决定，则，)1()1,0(),0(23rTNTN……（3-3）对于4龄鱼，每年初的条数是由前一年3龄鱼和4龄鱼成活数决定，则，)1()1()1,0()1()1()1,0(),0(,33,444TTkrTNkrTNTN……（3-4）根据前面的分析，要使5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，则只需要控制每年初1龄组鱼群的数量尽量接近于可持续捕捞时1龄组鱼群的组成即可。既满足以下关系式：)5,0()4,0()3,0()2,0()1,0(11111NNNNN……（3-5）根据题目已知条件，“只能捕获3龄鱼和4龄鱼，捕获强度系数之比为0.42：1”，则TTkk,4,342.0……（3-6）由于题目要求在“实现可持续捕获