概率论知识点总结及心得体会

第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e或ω.全体样本点的集合称为样本空间.样本空间用S或Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。3、定义：事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为BA或AB。若AB且AB则称事件A与事件B相等，记为A＝B。定义：和事件“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为:A∪B={e|e∈A，或e∈B}。定义：积事件事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。定义：差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为A-B={e|e∈A，eB}。定义：互不相容事件或互斥事件如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。定义6：逆事件/对立事件称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为Ā。A与Ā满足：A∪Ā=S,且AĀ=Φ。运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC（4）德摩根律：小结：事件的关系、运算和运算法则可概括为BABABABA四种关系：包含、相等、对立、互不相容；四种运算：和、积、差、逆；四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。第二节：1、设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：P(A)＝k/n＝A包含的样本点数/S中的样本点数。2、几何概率：设事件A是S的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为：P（A）=μ（A）/μ（S）假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把理解为长度或体积即可.概率的性质：（1）P()=0,（2）（3）（4）若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A).第四节：条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A对B的条件概率，记作P(A|B).11mmPP;,,,,2,1,,,11nkknkkjiAPAPjinjiAA则两两互不相容，),(1)(APAPBPABPBAP)|(而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.乘法公式：若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)全概率公式：设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分，且P(Ai)0，i=1,2,…,n,B是任一事件,则贝叶斯公式：设A1,A2,…,An是试验E的样本空间Ω的一个划分，且P(Ai)0，i=1,2,…,n,B是任一事件且P(B)0,则第五节：若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)则称A、B独立，或称A、B相互独立.将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件A、B、C，若P(AC)=P(A)P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(BC)=P(B)P(C)四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.第六节：定理对于n重贝努利试验，事件A在n次试验中出现k次的概率为总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。niiiABPAPBP1)()()(｜njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(｜｜pqnkqpCkPknkknn1,,,1,0)(2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。4.贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。第二章：随机变量及其分布1、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。分布函数：设X是一个r.v，x为一个任意实数，称函数F(X)=P（X≤x）为X的分布函数。X的分布函数是F(x)记作X～F(x)或FX(x).如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间（x≤X）。3、离散型随机变量及其分布定义1：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称等式P(X=xk)=PK,为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布.其中PK,≥0；ΣPk=1分布律与分布函数的关系：（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：①设一离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk(k=1，2，…)由概率的可列可加性可得X的分布函数为②已知随机变量X的分布律,亦可求任意随机事件的概率。（2）已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律：一、三种常用离散型随机变量的分布.1（0－1）分布：设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0，1.(0p1)则称X服从（0－1）分布,记为X（0－1）分布。（0－1）分布的分布律用表格表示为：X01P1-pp易求得其分布函数为2.二项分布（binomialdistribution)：定义：若离散型随机变量X的分布律为xxkxxkkkpxFxXPxXPxF)(}{}{)(即,3,2,1)0()(}{kxFxFxXPkkk110100)(xpxpxxFnkqpCkXPkkkn,,1,01其中0p1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项分布，记为XB(n,p).4、泊松分布的定义及图形特点设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为：其中入0是常数,则称X服从参数为入的泊松分布,记作X~P(入).、连续型随机变量1概率密度f(x)的性质（1）f(x)≥0（2）(3).X落在区间(x1，x2)的概率几何意义：X落在区间(x1，x2)的概率P{x1X≤x2}等于区间(x1，x2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积．(4).若f(x)在点x处连续，则有F′(x)=f(x)。．概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系：(1)若连续型随机变量X具有概率密度f(x)，则它的分布函数为(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F′(x).注意：对于F(x)不可导的点x处，f(x)在该点x处的函数值可任意给出。三种重要的连续型分布：,,,,,!)(210kkekXPk1)(dttf21)()()(1221xxdxxfxFxFxXxPdttfxFx)()(1．均匀分布(UniformDistribution)设连续随机变量X具有概率密度则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，记为XU(a，b).若XU(a，b)，则容易计算出X的分布函数为2.指数分布000)(xxexfx入0则称X服从参数为入的指数分布.常简记为X~E(入)指数分布的分布函数为指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.设随机变量X满足：对于任意的so，t0,有则称随机变量X具有无记忆性。3.正态分布若r.vX的概率密度为其中μ和2都是常数，任意，μ0，则称X服从参数为μ和2的正态分布.记作),(~2NXf(x)所确定的曲线叫作正态曲线.1,0的正态分布称为标准正态分布.其他01)(bxaabxfbxbxaabaxaxxF10)(0001)(xxexFxtXPsXtsXP|xexfx,)()(22221标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.随机变量函数的分布设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)，求Y=g(X)（g连续）的概率密度。1．一般方法——分布函数法可先求出Y的分布函数FY(y)：因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，设ly={x|g(x)≤y}则再由FY(y)进一步求出Y的概率密度2.设连续型随机变量X的密度函数为X(x),y=f(x)连续,求Y=f(X)的密度函数的方法有三种：（1）分布函数法；（2）若y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则可用公式法；（3）若y=g(x)在不相重叠的区间I1,I2,…上逐段严格单调，其反函数分别为h1(y),h2(y),…,且h1(y),h2(y),…,均为连续函数，则Y=g(X)是连续型随机变量，其密度函数为yxgXlXyYdxxfdxxflXPyFy)()()()(yFyfYYyhyhyhyhyXXY2211对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用X的分布来求P{g(X)≤y}.。第三章、多维随机变量.分布函数的性质对于任意固定的y，对于任意固定的x，离散型随机变量的分布、.,),(},{)}(){(),(:,,,),(的联合分布函数和量或称为随机变的分布函数称为二维随机变量二元函数对于任意实数是二维随机变量设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX),,(),(,,),(11212oyxFyxFxxyyxyxF时当意固定的即对于任的不减函数和是变量,1),(02oyxF,0),(lim),(yxFyFx,0),(lim),(yxFxFy,0),(lim),(yxFFyx.1),(lim),(yxFFyx.,),(,)0,(),(,),0(),(3o也右连续关于右连续关于即yxyxFyxFyxFyxFyxF,,),,(),,(421212211oyyxxyxyx对于任意.0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF有.,),(,,2,1,,},{,,2,1,),,(),(的联合分布律和或随机变量的分布律变量称此为二维离散型随机记值为所有可能取的设二维离散型随机变量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji连续型随机变量及其概率密度性质边缘分布1离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘分布随机变量的独立性：.1,011ijijijpp其中.0),()1(yxf.1),(dd),()2(Fyxyxf(3),(,)GxOyXYG设是平面上的一个区域点落在内的概率为.dd),(}),{(GyxyxfGYXP.),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf则有连续在若.),(),2,1(),2,1(,,2,1},{,,2,1},{.,2,1,,},{