2016年全国卷3理科数学理科综合试题及答案

2016年全国卷3理科数学试题及答案解析1绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3理科数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明1．设集合S=|(2)(3)0,|0SxxxTxx，则SIT=（A）[2，3]（B）（-，2]U[3,+）（C）[3,+）（D）（0，2]U[3,+）【答案】D【解析】试题分析：由(2)(3)0xx解得3x或2x，所以{|23}Sxxx或，所以{|023}STxxx或，故选D．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2．若12zi，则41izz（A）1（B）-1（C）i（D）-i【答案】C【解析】试题分析：44(12)(12)11iiiiizz，故选C．考点：1、复数的运算；2、共轭复数．3．已知向量13(,)22BAuuv,31(,),22BCuuuv则ABC=（A）300（B）450（C）600（D）1200【答案】A【解析】试题分析：由题意，得133132222cos112||||BABCABCBABC，所以30ABC，故选A．考点：向量夹角公式．2016年全国卷3理科数学试题及答案解析24．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在00C以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均气温高于200C的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：由图可知0C均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C，而一月的平均温差小于7.5C，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个或2个，所以不正确．故选D．考点：1、平均数；2、统计图5．若3tan4，则2cos2sin2（A）6425（B）4825（C）1（D）1625【答案】A【解析】试题分析：由3tan4，得34sin,cos55或34sin,cos55，所以2161264cos2sin24252525，故选A．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．6．已知432a，254b，1325c，则（A）bac（B）abc（C）bca（D）cab【答案】A【解析】2016年全国卷3理科数学试题及答案解析3试题分析：因为422335244ab，1223332554ca，所以bac，故选A．考点：幂函数的图象与性质．7．执行下图的程序框图，如果输入的46ab，，那么输出的n（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】B【解析】试题分析：第一次循环，得2,4,6,6,1abasn；第二次循环，得2,6,4,10abas，2n；第三次循环，得2,4,6,16,3abasn；第四次循环，得2,6,4,2016,4abasn，退出循环，输出4n，故选B．考点：程序框图．8．在ABC△中，π4B=，BC边上的高等于13BC,则cosA=（A）31010（B）1010（C）1010-（D）31010-【答案】C【解析】试题分析：设BC边上的高线为AD，则3BCAD，所以225ACADDCAD，2ABAD．由余弦定理，知22222225910cos210225ABACBCADADADAABACADAD，故选C．考点：余弦定理．2016年全国卷3理科数学试题及答案解析49．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18365（B）54185（C）90（D）81【答案】B【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积236233233554185S，故选B．考点：空间几何体的三视图及表面积．10．在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（A）4π（B）92（C）6π（D）323【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积V最大，必须球的半径R最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R，故选B．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A【解析】试题分析：由题意设直线l的方程为()ykxa，分别令xc与0x得点2016年全国卷3理科数学试题及答案解析5||()FMkac，||OEka，由OBECBM，得1||||2||||OEOBFMBC，即2(c)kaakaac，整理，得13ca，所以椭圆离心率为13e，故选A．考点：椭圆方程与几何性质．12．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意2km，12,,,kaaa中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有10a，81a，则具体的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110考点：计数原理的应用．2016年全国卷3理科数学试题及答案解析6第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）13．若,xy满足约束条件1020220xyxyxy则zxy的最大值为_____________.【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数zxy经过点1(1,)2A时取得最大值，即max13122z．考点：简单的线性规划问题．14．函数sin3cosyxx的图像可由函数sin3cosyxx的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】3【解析】试题分析：因为sin3cos2sin()3yxxx，sin3cos2sin()3yxxx＝2sin[()]33x，所以函数sin3cosyxx的图像可由函数的图像至少向右平移3个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．15．已知fx为偶函数，当0x时，()ln()3fxxx，则曲线yfx在点(1,3)处的切线方程是_______________。【答案】21yx【解析】sin3cosyxx2016年全国卷3理科数学试题及答案解析7试题分析：当0x时，0x，则()ln3fxxx．又因为()fx为偶函数，所以()()ln3fxfxxx，所以1()3fxx，则切线斜率为(1)2f，所以切线方程为32(1)yx，即21yx．考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．16．已知直线l：330mxym与圆2212xy交于,AB两点，过,AB分别做l的垂线与x轴交于,CD两点，若23AB，则||CD__________________.【答案】4【解析】试题分析：因为||23AB，且圆的半径为23，所以圆心(0,0)到直线330mxym的距离为22||()32ABR，则由2|33|31mm，解得33m，代入直线l的方程，得3233yx，所以直线l的倾斜角为30，由平面几何知识知在梯形ABDC中，||||4cos30ABCD．考点：直线与圆的位置关系．评卷人得分三、解答题（题型注释）17．已知数列{}na的前n项和1nnSa，其中0．（Ⅰ）证明{}na是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若53132S，求．【答案】（Ⅰ）1)1(11nna；（Ⅱ）1．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用公式1112nnnSnaSSn，得到数列{}na的递推公式，然后通过变换结合等比数列的定义可证；（Ⅱ）利用（Ⅰ）前n项和nS化为的表达式，结合5S的值，建立方程可求得的值．2016年全国卷3理科数学试题及答案解析8试题解析：（Ⅰ）由题意得1111aSa，故1，111a，01a.由nnaS1，111nnaS得nnnaaa11，即nnaa)1(1.由01a，0得0na，所以11nnaa.因此}{na是首项为11，公比为1的等比数列，于是1)1(11nna．（Ⅱ）由（Ⅰ）得nnS)1(1，由32315S得3231)1(15，即5)1(321，解得1．考点：1、数列通项na与前n项和为nS关系；2、等比数列的定义与通项及前n项和为nS．18．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。参考数据：719.32iiy，7140.17iiity，721()0.55iiyy，7≈2.646.参考公式：相关系数12211()()()(yy)niiinniiiittyyrtt，回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niiiniittyybtt，=.aybt【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82亿吨．2016年全国卷3理科数学试题及答案解析9【解析】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数r公式求出相关数据后，然后代入公式即可求得r的值，最后根据其值大小回答即可；（Ⅱ）利用最小二乘法的原理提供的回归方程，准确求得相关数据即可建立y关于t的回归方程，然后作预测．试题解析：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得4t，28)(712iitt，55.0)(712iiyy，89.232.9417.40))((717171iiiiiiiiytytyytt，99.0646.2255.089.2r.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.（Ⅱ）由331.1732.9y及（Ⅰ）得71721()()2.89ˆ0.10328()iiiiittyybtt，92.04103.0331.1ˆˆtbya.所以，y关于t的回归方程为：ty10.092.0ˆ.将2016年对应的9t代入回归方程得：82.1910.092.0ˆy.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用．19．如图，四棱锥PABC中，PA地面ABCD，ADBC，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2