高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解

数列专项之求和-4（一）等差等比数列前n项求和1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn（二）非等差等比数列前n项求和⑴错位相减法②数列na为等差数列，数列nb为等比数列，则数列nnab的求和就要采用此法.②将数列nnab的每一项分别乘以nb的公比，然后在错位相减，进而可得到数列nnab的前n项和.此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.例23.求和：132)12(7531nnxnxxxS)0(x例24.求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.⑵裂项相消法一般地，当数列的通项12()()ncaanbanb12(,,,abbc为常数）时，往往可将na变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设12naanbanb，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21cbb，从而可得12211211=().()()()ccanbanbbbanbanb常见的拆项公式有：①111(1)1nnnn；②1111();(21)(21)22121nnnn③11();ababab④11;mmmnnnCCC⑤!(1)!!.nnnn⑥])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn……例25.求数列,11,,321,211nn的前n项和.例26.在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.例27.求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.例28.求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan⑷倒序相加法如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：121...nnaaaa例29.求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210例30.求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值⑸记住常见数列的前n项和：①(1)123...;2nnn②2135...(21);nn③22221123...(1)(21).6nnnn④23333)]1(21[321nnn答案详解例23.解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积。132)12(7531nnxnxxxS……………………….①设nnxnxxxxxS)12(7531432……………………….②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn例24.解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积。设nnnS2226242232…………………………………①14322226242221nnnS………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn∴1224nnnS例25.解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）＝)1()23()12(nn＝11n例26.解：∵211211nnnnnan∴)111(82122nnnnbn（裂项）∴数列{bn}的前n项和)]111()4131()3121()211[(8nnSn（裂项求和）＝)111(8n＝18nn例27.解：设kkkkkkak2332)12)(1(∴nknkkkS1)12)(1(＝)32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得Sn＝kkknknknk1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333nnn＝2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn（分组求和）＝2)2()1(2nnn例28.解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当a＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan例29.证明：nnnnnnCnCCCS)12(53210………………………①把①式右边倒转过来得0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS（反序）又由mnnmnCC可得nnnnnnnCCCnCnS1103)12()12(……………②①+②得nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2))(22(2110（反序相加）∴nnnS2)1(例30.解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S………….①将①式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S…………..②（反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx①+②得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝44.5