2018考研数学三参考答案

本科院校目标院校目标专业姓名.....................................装.......................................订.......................................线.......................................2018年全国硕士研究生统一入学考试数学三试题整理人：中博考研向禹老师[e-mail]题号1-89-14151617181920212223总分分数一、评卷人得分选择题（每题4分,共32分）1.下列函数不可导的是()A.f(x)=jxjsinjxjB.f(x)=jxjsin√jxjC.f(x)=cosjxjD.f(x)=cos√jxj【解析】A,B,C可导,D根据导数的定义可得f′+(0)=12,f′(0)=12.2.设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且∫10f(x)dx=0,则()A.当f′(x)0时,f(12)0B.当f′′(x)0时,f(12)0C.当f′(x)0时,f(12)0D.当f′′(x)0时,f(12)0【解析】考虑f(x)在x=12处的泰勒展开式:f(x)=f(12)+f′(12)(x12)+f′′(x)2(x12)2对函数f(x)在[0,1]上进行积分,可知当f′′(x)0时,f(12)0.3.设M=∫p2p2(1+x)21+x2dx,N=∫p2p21+xexdx,K=∫p2p2(1+pcosx)dx,则()A.MNKB.MKNC.KMND.NMK【解析】利用对称性可以计算M=∫p2p2(1+x)21+x2dx=∫p2p2(1+2x1+x2)dx=p,另外比较被积函数与1的大小关系易见Kp=MN.4.设某产品的成本函数C(Q)可导,其中Q为产量,若产量为Q0时平均成本最小,则()A.C′(Q0)=0B.C′(Q0)=C(Q0)C.C′(Q0)=Q0C(Q0)D.Q0C′(Q0)=C(Q0)【解析】平均成本为¯C=C(Q)Q,¯C′=C′(Q)QC(Q)Q2.若产量为Q0时平均成本最小,则¯C′(Q0)=0,可得Q0C′(Q0)=C(Q0),选D.5.下列矩阵中,与矩阵0BBBB@1100110011CCCCA相似的为()第1页共7页本科院校目标院校目标专业姓名.....................................装.......................................订.......................................线.......................................A.0BBBB@1110110011CCCCAB.0BBBB@1010110011CCCCAC.0BBBB@1110100011CCCCAD.0BBBB@1010100011CCCCA【解析】易知题中矩阵均为3重特征值1.若矩阵相似,则不同特征值对应矩阵lEA的秩相等,即EA秩相等.显然为A.6.设A,B为n阶矩阵,记r(X)为矩阵X的秩,(XY)表示分块矩阵,则()A.r(AAB)=r(A)B.r(ABA)=r(A)C.r(AB)=maxfr(A),r(B)gD.r(AB)=r(ATBT)【解析】对于A,有r(AAB)=r(A(EB)),且(EB)为行满秩的矩阵,则r(AAB)=r(A),即选A.B错误,反例如A=0B@10001CA,B=0B@10111CA.C错误,r(AB)⩾maxfr(A),r(B)g,反例如A=0B@10001CA,B=0B@00011CA.D错误,反例如A=0B@10001CA,B=0B@00101CA.7.设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1+x)=f(1x),且∫20f(x)dx=0.6,则P(X0)=()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【解析】由f(1+x)=f(1x)知f(x)关于x=1对称,则∫10f(x)dx=∫21f(x)dx=12∫20f(x)dx=0.3,于是PfX0g=∫0¥f(x)dx=∫1¥f(x)dx∫10f(x)dx=0.50.3=0.2选A.8.设X1,X2,


,Xn(n⩾2)为来自总体XN(m,s2)(s0)的简单随机样本,令X=1nnåi=1Xi,S=√1n1nåi=1(XiX)2,S=√1nnåi=1(Xim)2则()A.pn(Xm)Sst(n)B.pn(Xm)Sst(n1)C.pn(Xm)Sst(n)D.pn(Xm)Sst(n1)【解析】首先XN(m,s2))XN(m,s2n))pn(Xm)ssN(0,1).而样本方差S2=1n1nåi=1(XiX)2满足的分布为(n1)s2S2c2(n1),根据t分布的定义知pn(Xm)s√(n1)s2S2n1=pn(Xm)St(n1),选B.二、评卷人得分填空题（每题4分,共24分）9.曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是.【解析】y′=2x+2x,y′′=22x2,由此得函数的拐点坐标(1,1).曲线在拐点处的斜率为y′x=1=4,故切线方程为y=4x3.第2页共7页本科院校目标院校目标专业姓名.....................................装.......................................订.......................................线.......................................10.∫exarcsin√1e2xdx=.【解析】令arcsinp1e2x=t,则ex=cost,dx=sintcostdu,原积分化为∫tcostsintcostdt=∫tsintdt=tcost∫costdt=tcostsint+C带回原变量的原不定积分为exarcsinp1e2xp1e2x+C.11.差分方程∆2yxyx=5的通解是.【解析】根据二阶差分的定义可得∆2yx=∆yx+1∆yx=(yx+2yx+1)(yx+1yx)=yx+22yx+1+yx,由∆2yxyx=5得yx+2yx+1=5.先求齐次方程的通解,由差分方程的特征方程l2=0,齐次方程通解为Y=C
2x.由于1不是特征根,于是假设原差分方程的特解为yx=A,带入非齐次方程知特解为yx=5,于是原方程的通解为yx=C
2x5.12.函数f(x)满足f(x+dx)f(x)=2xf(x)∆x+o(∆x)(∆x!0),且f(0)=2则f(1)=.【解析】在等式f(x+dx)f(x)=2xf(x)∆x+o(∆x)两边除以∆x,并令∆x!0得f′(x)=2xf(x),解得f(x)=Cex2.由f(0)=2得C=2,于是f(1)=2e.13.设A为三阶矩阵,a1,a2,a3为线性无关的向量组.若Aa1=a1+a2,Aa2=a2+a3,Aa3=a1+a3,则jAj=【解析】由题意得A(a1,a2,a3)=(a1,a2,a3)0BBBB@1011100111CCCCA.由于a1,a2,a3线性无关,记P=(a1,a2,a3),B=0BBBB@1011100111CCCCA,则P是可逆矩阵,因此矩阵A与矩阵B相似,它们的行列式相等,jAj=jBj=2.14.随机事件A,B,C相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=12,则P(ACjA[B)=.【解析】P(ACjA[B)=P[(AC)[(ABC)]P(A[B)=P(AC)P(A)+P(B)P(AB)=13.三、评卷人得分解答题（共94分）15.(本题满分10分)已知实数a,b满足limx!+¥[(ax+b)e1xx]=2,求a,b.【解析】直接利用泰勒公式得limx!+¥[(ax+b)e1xx]=limx!+¥[(ax+b)(1+1x+o(1x))x]=limx!+¥[(a1)x+a+b+bx+(ax+b)o(1x)]=2由于limx!+¥bx=0,limx!+¥(ax+b)o(1x)=0,所以8:a1=0a+b=2,解得a=b=1.16.(本题满分10分)第3页共7页本科院校目标院校目标专业姓名.....................................装.......................................订.......................................线.......................................设平面区域D由曲线y=√3(1x2)与直线y=p3x及y轴围成,计算二重积分∫∫Dx2dxdy.【解析】直接化成累次积分积分∫∫Dx2dxdy=∫p220x2dx∫√3(1x¶)p3xdy=∫p220x2(√3(1x2)p3x)dx=p332pp316.17.(本题满分10分)将长为2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形,三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在,求出最小值.【解析】设分成的三段依次为x,y,z,则x+y+z=2,依次围成的圆的半径、正方形的边长与正三角形边长分别为x2p,y4,z3,因此三个面积的和为S=p(x2p)2+(y4)2+p34(z3)2=x24p+116y2+p336z2法一令f(x,y,z,l)=x24p+116y2+p336z2+l(x+y+z2),求驻点.由8:f′x=x2p+l=0f′y=y8+l=0f′z=p318z+l=0x+y+z=2可得8:x=2pp+4+3p3y=8p+4+3p3z=6p3p+4+3p3,并且Hf=diag{12p,18,p318}正定,这就是面积和的最小值点,此时最小面积为Smin=1p+4+3p3m2.法二由柯西不等式(x24p+116y2+p336z2)(4p+16+36p3)⩾(x+y+z)2=4,因此当x2p=y16=z12p3时,Smin=1p+4+3p3m2.18.(本题满分10分)已知cos2x1(1+x)2=¥ån=0anxn,求fang.【解析】首先(12sin2x+11+x)′=cos2x1(1+x)2.而sin2x=¥ån=0(1)n1(2n+1)!(2x)2n+1,11+x=¥ån=0(1)nxn求导得cos2x1(1+x)2=¥ån=0(1)n(2n)!4nx2n+¥ån=0(1)n+1(n+1)xn比较系数可得an=8:2k+2,n=2k+1(4)k(2k)!(2k+1),n=2k(k2N).19.(本题满分10分)设数列fxng满足x10,xn=exn+1=exn1(n=1,2,


).证明fxng收敛并求limn!¥xn.【解析】首先由x10,xn=exn+1=exn1(n=1,2,


)归纳可知所有xn0.考虑函数f(x)=ex,由拉格朗日第4页共7页本科院校目标院校目标专业姓名.....................................装.......................................订.......................................线.......................................中值定理可得exn+1=exn1xn=f(xn)f(0)xn0=exnexn,这里xn2(0,xn).这就说明xnxn+10,因此fxng单调递减有下界,故收敛.设limn!¥xn=x⩾0,在等式xn=exn+1=exn1两边取极限得xex=ex1.如果x0,则ex=ex1xex,矛盾,因此lim