平面向量全部讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得()A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BEC．ADD．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是()A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BAB．－BC－12BAC．BC－12BAD．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。16a＋6b2。C3。24。A5。C6．解：AB→＝AC→＋CB→＝－3a＋2b，∵D，E为AB→的两个三等分点，∴AD→＝13AB→＝－a＋23b＝DE→.∴CD→＝CA→＋AD→＝3a－a＋23b＝2a＋23b.∴CE→＝CD→＋DE→＝2a＋23b－a＋23b＝a＋43b.3．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.例5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________例6．设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．巩固练习：21．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．1B．2C．3D．42.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝()A．a＋34bB.14a＋34bC.14a＋14bD.34a＋14b3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝()A．aB．bC．cD．04如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，若AB＝4，且AD＝14AC＋λAB(λ∈R)，则AD的长为()A．23B．33C．43D．535．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.例5．－13例6．[解](1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.∴AB，BD共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.CBDB－14a＋14b24．向量的中线公式:若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝12(OA＋OB)．5．三点共线等价关系A，P，B三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)·OA＋tOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝x2－x12＋y2－y12.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.例7．若A(0,1)，B(1,2)，C(3,4)，则AB→－2BC→＝________例8.已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)例9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.巩固练习：1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b2．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a|等于()A.2B.3C.5D.103．已知向量a＝(－3,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则x＝()A．4B．5C．6D．74．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB→|＝2|AP→|，则点P的坐标为()A．(3,1)B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1)D．无数多个35．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当ka＋b与a－3b平行时，k＝()A.14B．－14C．－13D.136．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是()DA．42，0B．42，4C．16,0D．4,07．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,1)，若用a和b表示c，则c＝________.8．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________..例7．(－3，－3)例8.A例9．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.BCCCCD2a－b5平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．特别注意：若e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，a＝λ1e1＋λ2e2，2211eeb则2211ba例10：（1）如图，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．（2）已知,ADBE分别是ABC的边,BCAC上的中线,且,ADaBEb,则BC可用向量,ab表示为_____（3）．如图，已知C为OAB边AB上一点，且),(,2RnmOBnOAmOCCBAC,则mn=__________变式训练：1.在ABC△中,已知D是AB边上一点,若123ADDBCDCACB，,则（）AA．23B．13C．13D．232..设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3.若M为ABC内一点,且满足ACABAM4143,则ABM与ABC的面积之比为_________.4..若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM→＝AB→＋3AC→，则△ABM与△ABC的面积比为()CA.15B.25C.35D.925例10：62433ab29A121:4C平面向量共线的坐标表示例11．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数k取何值时，ka＋2b与2a－4b平行？练习：1．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则mn等于()CA．－2B．2C．－12D.122．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若AC＝2AB，求点C的坐标．3．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；4例11．解法一：∵2a－4b≠0，∴存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．将a，b的坐标代入上式，得(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得k－6＝14λ且2k＋4＝－4λ，解得k＝－1.解法二：同法一有ka＋2b＝λ(2a－4b)，即(k－2λ)a＋(2＋4λ)b＝0.∵a与b不共线，∴k－2λ＝0，2＋4λ＝0.∴k＝－1.1．C2．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴AB∥AC.∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵AC＝2AB，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．∴a－1＝4，b－1＝－4，解得a＝5，b＝－3.∴点C的坐标为(5，－3)．3．[解](1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以－m＋4n＝3，2m＋n＝2，得m＝59，n＝89.(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－161