4.几种常见的平面变换

几种常见的平面变换-----反射变换yxO问题情境问1：若将一个平面图形F在矩阵M1的作用变换下得到关于y轴对称的几何图形，则如何来求出这个矩阵呢？xxxyyy11001M1001xy问2：我们能否找出其它类似的变换矩阵呢？把一个几何图形变换为与之关于x轴对称的图形；21001M(1)31001M把一个几何图形变换为与之关于原点对称的图形；(2)把一个几何图形变换为与之关于直线y=x对称的图形；40110M(3)(4)50110M把一个几何图形变换为与之关于直线y=-x对称的图形；一般地，称形如M1,M2,M3,M4,M5这样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，其中（2）叫做中心反射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.建构数学例1求出曲线2(0)yxx在矩阵1001M作用下变换所得的图形.1O1yx2(0)yxx2(0)yxx-1数学运用110xy例2.求出曲线lg(0)yxx在矩阵0110M作用下变换得到的曲线.1Oyxlg(0)yxx例4.求直线l:y=4x在矩阵作用下变换得到的曲线.0110M思考3：我们从中能猜想什么结论？思考1：若矩阵改为矩阵则变换得到的曲线是什么？0110M3110A思考2：若矩阵再改为矩阵呢？3110A3111B结论:一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线(或点).(证明见课本P21)因此，在研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时，只需考察顶(端)点的变化结果即可.这种把直线变成直线的变换，通常叫做线性变换。例4.求直线:270lxy在矩阵3011M作用下变换得到的曲线.变式：若矩阵改为矩阵则变换得到的曲线是什么？3011M3111A变式训练1.设,,abR01aMb若所定义的线性变:270lxy变换成另一直线:70lxy求a，b的值.换把直线2.二阶矩阵M对应的变换将(1,-1)与(-2,1)分别变换成(5,7)与(-3,6)（1）求矩阵M（2）求直线:4lxy在此变换下所变成的l的解析式.直线变式训练3.求直线x=2在二阶矩阵对应的变换下所变成的图形。变式训练1010M2、求出曲线在矩阵作用下yx0110M变换得到的曲线。课堂反馈1、求平行四边形ABCD在矩阵1001到的几何图形，并给出图示，其中作用下变换得(4,2),(1,2)CD(0,0),(3,0),AB3、求出△ABC在矩阵作用下变换得到的图形,13223122并给出图示，其中(0,0),(1,3),(0,2)ABC课后作业完成学习与评价几种常见的平面变换-----旋转变换问题情境假设大风车的叶片在同一平面内转动，以旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如上图。OxyOxyaqP’(x’，y’)P(x，y)已知大风车上一点P(x，y)，它围绕旋转中心O逆时针旋转q角到另外一点P’(x’，y’).问题情境因此，旋转前后叶片上的点的位置变化可以看做是一个几何变换.思考：怎样用矩阵来实现这一变换？r建构数学矩阵通常叫做旋转变换矩阵.cossinsincosqqqq对应的变换称做旋转变换.其中的角q做旋转角.点O叫做旋转中心.旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状.图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.逆时针旋转!数学应用例1、已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.变、将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针旋转300，其结果又会如何？数学应用例2、已知曲线C:xy=1,求曲线C绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并画出示意图.变:将条件改为曲线C绕原点顺时针旋转450，其结果又会如何？几种常见的平面变换-----投影变换中午的太阳光下,一排排的树木的影子会投影到各自的树根。问题情境图2把垃圾推到边界线图1树在中午的阳光下形成影子这两个生活中事情，实质反映了平面上的点在某一直线上的投影，能否用矩阵来表示？提出问题解决问题方案1:以直线为x轴,建立直角坐标系,设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投影后的点坐标为(x,0).1000xyoP(x,y)P/(x,0)故所求矩阵为xx0y?1000解决问题方案2:以直线为y轴,建立直角坐标系,设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投影后的点坐标为(0,y).0001xyoP(x,y)P/(0,y)故所求矩阵为发散思维问题1:求变换矩阵将平面内的点沿垂直于x轴方向投影到直线y=x上，如图。1010故所求矩阵为xyoy=x),(yx),(xxyxxx1010(1)投影变换的几何要素:投影方向,投影到某条直线L.(2)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点(3)投影变换是映射,但不是一一映射像这类将平面内图形投影到某条直线相应的变换称做投影变换.(或某个点)10001010上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,建构数学研究线段AB在矩阵11221122得到的图形,其中A(0,0),B(1,2).作用下变换数学运用说明矩阵所对应的变换的几何意义。思考：11221122该变换将平面内的点沿垂直于直线y=-x方向投影到直线y=-x上。xyABB’(A’)的曲线方程。xy变式训练求圆x2+(y-2)2=1在矩阵的变换下y=x矩阵把椭圆变成了什么图形?其方程是什么?yx1010变换矩阵M将平面内的点沿垂直于直线y=x的方向投影到直线y=x上,求矩阵M.提高探索:xyOP.P’1.变换矩阵M将平面内的点沿垂直于x轴的方向投影到直线y=2x上,求矩阵M.变式练习:2.变换矩阵M将平面内的点沿垂直于直线y=2x的方向投影到直线y=2x上,求矩阵M.3.求关于直线y=2x反射变换的变换矩阵M.生活事情数学问题变换(形)矩阵(数)课堂小结1.变换矩阵M将平面内的点沿垂直于x轴的方向投影到直线y=2x上,求矩阵M.变式练习:2.变换矩阵M将平面内的点沿垂直于直线y=2x的方向投影到直线y=2x上,求矩阵M.3.求关于直线y=2x反射变换的变换矩阵M.几种常见的平面变换-----切变变换一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的大小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变，如图，这种形式的形变叫切变。FFSFFS一副码好的纸牌，现将它的左边与一把直尺对齐，保持直尺底端右下角和最下面一张纸牌不动，用直尺轻轻推动纸牌，使得纸牌的形状变换为如图2所示的模样，问纸牌被推动的前后存在什么变化规律吗？图1图2问题情境yxOyxO问题1：仔细观察，你发现了什么？问题情境问题2：你能将问题数学化吗？图3图4平移|ky|个单位:当ky0时，沿x轴正方向移动；当ky0时，沿x轴负方向移动；当ky=0时，原地不动.在此变换作用下，图形在x轴上的点是不动点。解决问题101k矩阵把平面上的点P(x,y)沿x轴方向建构数学101k像由矩阵确定的变换通常叫做切变变换,对应的矩阵叫做切变变换矩阵。如图所示，已知矩形ABCD在变换T的作用下变成图形A’B’C’D’，试求变换T对应的矩阵M。数学探究对于原图形中的任意一点，横坐标保持不变，而纵坐标依横坐标的比例增加，它把平面上的点沿y轴方向平移|kx|个单位:当kx0时，沿y轴正方向移动；当kx0时，沿y轴负方向移动；当kx=0时，原地不动，在此变换作用下，y轴上的点为不动点。101k对应的变换是沿y轴方向的切变变换，说明：例1．已知矩形的顶点A(-2,1),B(-2,-1),C(1,-1),D(1,1)⑴求矩形ABCD在矩阵作用下变换得到的几何图形。12011021数学运用⑴求矩形ABCD在矩阵作用下变换得到的几何图形。例2.对于一个平面图形来说，在切变变换前后，它的几何性质（如线段长度、角度、周长、面积）有变化吗？试以例1(1)为例加以说明。数学运用例3.求把△ABC变换成△A’B’C’的变换矩阵，其中A(-2,0)、B(2,0)、C(-2,2)、A’(-2,0)、B’(2,0)、C’(2,2).11011.考虑直线x+y=2在矩阵作用下变换得到的几何图形。2.求把△ABC变换成△A’B’C’的变换矩阵，其中A(-2,1)、B(0,1)、C(0,-1)、A’(-2,-3)、B’(0,1)、C’(0,-1).课堂练习1．切变变换与切变变换矩阵的概念。2．是沿x轴方向的切变变换，x轴上的点是不动点。3．是沿y轴方向的切变变换，y轴上的点是不动点。4．切变变换保持图形面积不变。101k101k课堂小结几种常见的平面变换给定一个二阶矩阵，就确定了一个变换：1001恒等变换——100a、001b伸压变换——1001、1001、1001反射变换——cossinsincosqqqq旋转变换——1000、0001、1010投影变换——101k、101k切变变换——:311.2-3(,)P.练习求在矩阵对应的变换作用下得到点2-5的平面上的点的坐标(,),31322323513211911(,).23519111111xyxxyyxyxxyPxyy:P解设点坐标为则解得2.ABOABO,ABAB.二阶矩阵对应的变换把图中变成其中点、的象点分别为、，求该矩阵12213-10ABAB11111323aabRMbTlxyab4.已知,,若所对应的变换把直线：变换为自身,试求实数,.22y3.x1,Ma10=,a.102设椭圆的方程为若它在矩阵对应的变换下变为一个圆求实数