中考数学整式的乘除与因式分解复习

第十五章整式的乘除与因式分解复习）本章知识结构：一、整式的有关概念1、代数式2、单项式3、单项式的系数及次数4、多项式5、多项式的项、次数6、整式二、整式的运算（一）整式的加减法去括号，合并同类项1、单项式除以单项式2、多项式除以单项式（三）整式的除法你回忆起了吗？就这些知识1、同底数幂的乘法2、幂的乘方3、积的乘方4、同底数的幂相除5、单项式乘以单项式6、单项式乘以多项式7、多项式乘以多项式8、平方差公式9、完全平方公式（二）整式的乘法一、整式的有关概念1、单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。2、单项式的系数：单项式中的数字因数。3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。4、多项式：几个单项式的和叫多项式。5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！！！6、整式：单项式与多项式统称整式。（分母含有字母的代数式不是整式）二、整式的运算（一）整式的加减法基本步骤：去括号，合并同类项。1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。数学符号表示：（其中m、n为正整数）nmnmaaa（二）整式的乘法练习：判断下列各式是否正确。6623222844333)()()()(2,,2xxxxxmmmbbbaaa2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。数学符号表示：mnnmaa)(（其中m、n为正整数）练习：判断下列各式是否正确。2244241222443243284444)()()(,)(])[(,)(mmmnnaaaxxbbbaaamnppnmaa])[(（其中m、n、P为正整数）3、积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。符号表示：)()(),(,)(为正整数其中为正整数其中ncbaabcnbaabnnnnnnn练习：计算下列各式。32332324)(,)2(,)21(,)2(baxybaxyz4.单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。•法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+na(m+n)+b(m+n)5.多项式与多项式相乘：=am+an+bm+bn（1）、平方差公式即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式.,,))((22也可以是代数式既可以是数其中babababa说明：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。6.乘法公式：一般的，我们有：（2）、完全平方公式法则：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。.,,2)(;2)(222222也可以是代数式既可以是数其中bababababababa2222)(:bababa即一般的，我们有：注意：•（1）(a-b)=-(b-a)•(2)（a-b)2=(b-a)2•(3)(-a-b)2=(a+b)2•(4)(a-b)3=-(b-a)37.添括号的法则：•添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要改变符号。（1）、同底数幂的除法即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。一般地，我们有nmnmaaa（其中a≠0，m、n为正整数,并且m＞n）)0(10aa8.整式的除法：即任何不等于0的数的0次幂都等于1（2）、单项式除以单项式法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（3）、多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。22219992001)6(,1999)5()23)(23)(4(zyxzyx?,2)()3(.,1,2)2(.)1(,51)1(222222222应为多少则如果的值求若的值求已知znmnmznmxyyxyxaaaa例2、计算：(1)(2)解：(1)原式=2+1×(-2)-［-(1-)］=2-2+1-=1-.(2)原式=(2×-)+1-=2-+1-(+1)=2-+1--1=2--典型例题解析518)121()21(30110oo)12()54()60sin45cos2(2练习：计算下列各题。)5.0()4331)4()6()645)(3(])(31[)(6)2()2(()41)(1(21231221223233225346yxyxyxyxxxyxyxbabacacbammmnm分解因式定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解或分解因式。与整式乘法的关系：互为逆过程，互逆关系方法提公因式法公式法步骤一提：提公因式二用：运用公式三查：检查因式分解的结果是否正确（彻底性）平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2九.（1）.公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式（2）找公因式：找各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。（3）.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，作为多项式的一个因式，然后用原多项式的每一项除以这个公因式，所得的商作为另一个因式，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解的方法提公因式法。第2讲┃整式与因式分解变式题先化简，再求值：(x＋1)(2x－1)－(x－3)2，其中x＝－2.解：原式＝(2x2－x＋2x－1)－(x2－6x＋9)＝2x2－x＋2x－1－x2＋6x－9＝x2＋7x－10.当x＝－2时，原式＝(－2)2＋7×(－2)－10＝－20.第2讲┃整式与因式分解┃考题自主训练与名师预测┃1．代数式－x3＋2x＋24是()A．单项式B．三次二项式C．三次三项式D．四次三项式2．计算a2·a4的结果是()A．a8B．a6C．2a6D．2a83．[2013·广州]计算(m3n)2的结果是()A．m6nB．m6n2C．m5n2D．m3n2CBB第2讲┃整式与因式分解4．下列运算正确的是()A．3x2＋4x2＝7x4B．2x3·3x3＝6x3C．x6÷x3＝x2D．(x2)4＝x85．分解因式a3－a的结果是()A．a(a2－1)B．a(a－1)2C．a(a＋1)(a－1)D．(a2＋a)(a－1)6．如图2－1(1)是一个长为2a，宽为2b(ab)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是()A．2abB．(a＋b)2C．(a－b)2D．a2－b2DCC第2讲┃整式与因式分解7．如图2－2，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是()A．M＝mnB．M＝n(m＋1)C．M＝mn＋1D．M＝m(n＋1)D第2讲┃整式与因式分解8．单项式（－2x2y）35的系数是________，次数是________．9．若代数式－4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为________．10．[2013·长春]吉林广播电视塔“五一”假期第一天接待游客m人，第二天接待游客n人，则这2天平均每天接待游客________人(用含m，n的代数式表示)．－8593m＋n2第2讲┃整式与因式分解11．[2013·南充]分解因式：x2－4(x－1)＝________．12．[2013·福州]已知实数a，b满足：a＋b＝2，a－b＝5，则(a＋b)3·(a－b)3的值是________．13．[2013·鞍山]刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦，发明了一个魔术盒．当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数：a2＋b－1，例如把(3，－2)放入其中，就会得到32＋(－2)－1＝6.现将实数对(－1，3)放入其中，得到实数m，再将实数对(m，1)放入其中后，得到的实数是________．(x－2)210009[解析]根据所给规则：m＝(－1)2＋3－1＝3，所以最后得到的实数是32＋1－1＝9.第2讲┃整式与因式分解14．[2013·衡阳]先化简，再求值：(1＋a)(1－a)＋a(a－2)，其中a＝12.解：(1＋a)(1－a)＋a(a－2)＝1－a2＋a2－2a＝1－2a.当a＝12时，原式＝0.第2讲┃整式与因式分解15．(1)已知x＋y＝7，xy＝12，求(x－y)2的值；(2)已知a＋b＝8，a－b＝2，求ab的值．解：(1)∵x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49，∴x2＋y2＝49－2xy＝49－2×12＝25，∴(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝(x2＋y2)－2xy＝25－2×12＝1.(2)∵a＋b＝8，∴a2＋2ab＋b2＝64.①∵a－b＝2，∴a2－2ab＋b2＝4.②①－②，得4ab＝60，∴ab＝15.[解析](1)中把x2＋y2以及xy当成了整体；(2)中把ab看作是一个整体．第2讲┃整式与因式分解16．[2013·扬州]如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d(n)．由定义可知：10b＝n与b＝d(n)所表示的是b，n两个量之间的同一关系．(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)＝____，d(10－2)＝_____；(2)劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则d(mn)＝d(m)＋d(n)，dmn＝d(m)－d(n)．根据运算性质，填空：d（a3）d（a）＝________(a为正数)，若d(2)＝0.3010，则d(4)＝_______，d(5)＝_______,d(0.08)＝_______；第2讲┃整式与因式分解┃考向互动探究与方法归纳┃探究一整式的化简求值例[2013·娄底]先化简，再求值：(x＋y)·(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝－1，y＝33.[解析]先利用平方差公式及多项式除以单项式化简，再代入求值即可．第2讲┃整式与因式分解解：原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2.当x＝－1，y＝33时，－x2＋3y2＝－(－1)2＋3×332＝－1＋1＝0.第2讲┃整式与因式分解[中考点金]在整式的化简求值时，关键要掌握整式运算法则及乘法公式，同时在运算的过程中注意运算顺序及符号变化问题．第2讲┃整式与因式分解变式题[2013·扬州]先化简，再求值：(x＋1)(2x－1)－(x－3)2，其中x＝－2.解：原式＝(2x2－x＋2x－1)－(x2－6x＋9)＝2x2－x＋2x－1－x2＋6x－9＝x2＋7x－10.当x＝－2时，原式＝(－2)2＋7×(－2)－10＝－20.第2讲┃整式与因式分解┃考题自主训练与名师预测┃1．代数式－x3＋2x＋24是()A．单项式B．三次二项式C．三次三项式D．四次三项式2．计算a2·a4的结果是()A．a8B．a6C．2a6D．2a83．[2013·广州]计算(m3n)2的结果是()A．m6nB．m6n2C．m5n2D．m3n2CBB第2讲┃整式与因式分解4．[2013·重庆A卷]下列运算正确的是()A．3x2＋4x2＝7x4B．2x3·3x3＝6x3C．x6÷x3＝x2D．(x2)4＝x85．分解因式a3－a的结果是()A．a(a2－1)B．a(a－1)2C．a(a＋1)(a－1)D．(a2＋a)(a－1)6．[2013·枣庄]如图2－1(1)是一个长为2a，宽为2b(ab)的