数学史

一、设置《数学史选讲》的必要性和作用随着数学的发展、时代的不断前进，数学在日常生活、社会和科学技术发展中的作用日益广泛，人们对数学和数学教育的认识越来越深入。数学具有悠久的历史，它不仅是数学知识的积累，人类认识客观世界的有力工具，也是人类文化的重要组成部分。《普通高中数学新课程标准》理念中指出：“数学课程应当适当地反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学的推动作用，数学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。”如何实现《标准》的理念，使数学教育在人的全面发展过程中发挥应有的作用呢？如何渗透数学文化，体现人文精神呢？实现这一理念的最佳途径是在数学课程教学中融入数学史的内容。在新的教材编排里，就着重数学文化这一方面进行了很多的改编。增加了很多数学文化，数学史的内容。数学发展的历史是一部内容丰富、思想深刻的历史。通过生动、丰富的事例，使学生了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，作用：1.帮助学生更好地理解数学。数学史的学习使学生开阔数学视野，认识数学的科学价值，应用价值和文化价值，体会数学的美学意义，可以使学生更多了解数学的基本思想和方法，及其在解决生活和生产实际问题中的应用。2.激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。3.培养生学形成锲而不舍的研究精神和科学态度4.培养学生的创新精神5.形成批判性的思想习惯和崇尚科学的理性精神二、数学史的主要体现形式数学史在高中数学课程中的安排可以采取多种形式，可以通过课外数学活动或小组活动的一项内容，也可以穿插渗透于课堂教学的各个环节结合教学内容进行。但作为选修系列的一个专题，《数学史选讲》相对比较集中地将数学发展中一些能够体现重大数学思想发展又比较贴近高中学生水平与实际的选题汇串在一起学习。在高中阶段并不要求学生系统学习数学史。《数学史选讲》专题不必追求整个数学或某一分支发展历史的系统性和完整性，而是通过学生容易理解的内容、生动活泼的语言和喜闻乐见的事例呈现数学发展历史的一些过程，使学生体会数学的重要思想和发展轨迹。在本专题的教学中应该注意到，一个人对于数学的认识是一个逐步的过程，我们不能急于求成，不能期望通过几个数学史专题的学习就彻底改变局面。使学生形成一种除了抽象的、形式化的数学，除了学习数学概念、定理、解题训练之外去认识、理解数学的途径和方法的观念是重要的。三、《数学史选讲》内容的选择比较几个版本的教材内容人教A版人教B版第一讲、早期算术与几何一、古埃及的数学二、两河流域的数学三、丰富多彩的记数制度第一章、灿烂的古希腊数学一、万物皆数二、几何学无王者之路三、我将撬动地球第二讲、古希腊数学一、希腊数学的先行者二、毕达哥拉斯学派三、欧几里得与《原本》四、数学之神——阿基米德第二章、中国古代数学瑰宝一、古算明珠——方程术与正负术二、韩信点兵与中国剩余定理三、古代数学精英第三讲、中国古代数学瑰宝一、《周髀算经》与赵爽弦图二、《九章算术》三、大衍求一术四、中国古代数学家第三章、代数学的进步一、解方程的故事二、青年数学家阿贝尔和伽罗瓦三、代数学与三大几何作图难题四、对称的数学第四讲、平面解析几何的产生一、坐标思想的早期萌芽二、苗卡儿坐标系三、费马的解析几何思想四、解析几何的进一步发展第四章、数与形的完美结合——解析几何的产生一、时代的产物二、勇于探索的数学家三、业余数学大师第五讲、微积分的诞生一、微积分产生的历史背景二、科学巨人牛顿的工作三、布莱布尼茨的“微积分”第五讲、运动与变化的数学——微积分的诞生一、两千年的孕育二、站在巨人的肩膀上三、万能大师四、异曲同工第六讲、近代数学两巨星一、分析的化身——欧拉二、数学王子——高斯第六讲、近代数学的两座灯塔——欧拉与高斯一、征服黑暗的欧拉二、数学王子高斯第七讲、千古谜题一、三次、四次方程求根公式的发现二、高次方程可解性问题的解决三、伽罗瓦与群论四、古希腊三大几何问题的解决第七讲、几何学的新天地——非欧几何的诞生一、欧氏几何的家丑二、新奇的非欧几何世界三、几何学的哥白尼四、从假设到现实——非欧几何的意义第八讲、对无穷的深入思考一、古代的无穷观念二、无穷集合论的创立三、集合论的进一步发展与完善第八讲、探索随机世界的利器——概率论和数理统计的源流一、游戏的数学二、伯努利家族的贡献三、更上一层楼四、数据的学问第九讲、中国现代数学的开拓与发展一、中国现代数学发展概观二、人民的数学家——华罗庚三、当代几何大师——陈省身第九讲、中国现代数学两巨星一、传奇数学家——华罗庚二、当代几何大师——陈省身北师大版第一章、数学发展概述一、从数学的起源、早期发展到初等数学形成二、从变量数学到现代数学第二章、数与符号一、数的表示与十进制二、数的扩充三、数的符号第三章、几何学发展史一、从经验几何到演绎几何二、投影画与射影几何三、解析几何第四章、数学史上的丰碑——微积分一、积分思想的渊源二、圆周率三、微积分第五章、无限一、初识无限二、实数集的基数第六章、名题赏析一、费玛大定理二、哥尼斯堡大桥问题三、高次方程四、中国剩余定理五、哥德巴赫猜想人教A详细内容介绍第一讲、早期算术与几何四、古埃及的数学五、两河流域的数学六、丰富多彩的记数制度计数和测量是数学的开始，也是数学中最早的概念---数与形产生的基础，同时也是现代数学基础教育内容的开始。到了高中学生对于计数和测量的认识已经比较系统，此时介绍计数和测量的早期历史有利于学生全面认识记数制和几何知识的初始积累过程。可以使学生对于数学概念的形成有一个具体的体会。从计数发展到形成十进位值制是一个缓慢的、渐进的过程。历史上不同的地区和民族使用过不同的符号来记数：古代埃及的纸草书中记录的数学、两河流域的泥板中记录的数学、古代印度和中国的古代数学中筹算记数制。他们都有一个共同的特点---即用符号将数记录下来并进行一定的运算，后来经历了长期的应用，十进位值制逐渐成为世界通用的记数方法。但是由于史料过于分散和不完整，建议首先布置学生分别查阅资料，收集有关史料，汇集、分析、整理，在教师的指导下逐步形成对记数制和早期几何的历史的一个比较完整的认识。第二讲、古希腊数学五、希腊数学的先行者六、毕达哥拉斯学派七、欧几里得与《原本》八、数学之神——阿基米德古希腊数学是论证数学的发端，古希腊数学家完成了历史上第一个具有初步逻辑结构的论证数学体系---初等几何公理体系，而且这个逻辑体系经过二千多年的进一步补充和完善成为现代初高中数学课程中的一项重要内容。在初中学习过初等平面几何之后，高中生已经对几何公理、命题、证明有了初步的认识，将这样一个最直观的数学公理体系的历史在高中数学课程中适当介绍是比较恰当的时机。在初中和高中的纯数学公理体系训练的基础上，给学生认识此公理体系历史发展的机会可以使学生体会到枯燥的公理、命题、证明背后的数学思想体系。同时进一步介绍第五公设、尺规作图以及公理化思想对近代科学的深远影响。另外，毕达哥拉斯多边形数、从勾股数到勾股定理，不可公度问题和阿基米德求积法都是高中学生可以理解的，集历史性、趣味性、数学性和思想性为一体的史料，它们是在数学课程的必修内容无法中体现。此段内容相对比较多，数学性和思想性更为突出，适合教师讲授，并可以设计一些作业和思考题供课后巩固之用。第三讲、中国古代数学瑰宝一、《周髀算经》与赵爽弦图二、《九章算术》三、大衍求一术四、中国古代数学家中国古代数学在历史上曾达到过灿烂的高峰，但我国高中学生在以往的正规数学教育中很少有机会了解中华民族丰富、灿烂的古代数学成就，而与古希腊数学相比中国古代数学表现出强烈的算法倾向，重视算法的概括，不讲究命题的形式推导，但它们不仅是简单的经验法则，而是一种归纳思维能力的产物。这种数学从思维形式上讲与古希腊数学的演绎风格截然不同却又相辅相成，这两种不同的思维形式在现代数学课程中的互相渗透与体现正是改变以过分强调逻辑演绎成分为主的传统数学课程的一种方式。因此，无论是从培养中国学生的爱国主义情操、培养民族自信心出发，还是数学课程本身的目标出发，适当地介绍中国古代数学的成就都是十分必要的。中国古代数学内容丰富，时间有限，所以选择一些具有代表性的部分。《周髀算经》是中国最早的天文学著作，书中有相当烦难的数字计算和勾股定理的应用。《九章算术》是东方数学中的重要著作，对东方数学，特别是中国古代数学的影响巨大，其特征明显，《九章算术》中的部分数学内容如方程术、加减消元法、正负数这些在当时处于世界数学领先地位的内容介绍。大衍求一术在数学史上被称为中国剩余定理，它是中国传统数学史上在一千多年的时间里摸索、归纳出的求解一次同余方程组的一般方法，是中国古代数学中饶有特色的部分。以上都是高中学生可以理解的内容。另外，中国古代数学中产生了一批伟大的数学家如刘徽、祖冲之等，对中国的数学发展也有很重要的影响。本段内容在编写教材和进行讲授过程中，首先应该注意实事求是，客观分析中国古代数学及其思想和方法，不要夸大事实。这一部分内容的教学可以选择布置学生自己收集资料、教师指导学生写研究报告和教授的方法相结合的方式进行。第四讲、平面解析几何的产生五、坐标思想的早期萌芽六、苗卡儿坐标系七、费马的解析几何思想八、解析几何的进一步发展平面解析几何是高中数学课程的重要组成部分。而历史上解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑，也是近代数学崛起的两大标志之一。这一部分内容思想性很强，而从数学的角度又比较容易为高中学生理解，所以可以作为重大数学创新产生的背景、思想、方法和意义的较完整的和典型的史例。同时，解析几何创始人特别是笛卡尔的事迹与精神(对科学真理和方法的追求、科学怀疑精神等)也是富有启发性和激励性的材料。学生可以在教师的指导收集有关资料，分析、整理写出研究报告。第五讲、微积分的诞生三、微积分产生的历史背景四、科学巨人牛顿的工作五、莱布尼茨的“微积分”恩格斯将微积分的创立誉为“人类精神的最高胜利”。微积分的一个部分“导数及其应用”是高中数学课程标准之选修系列1的内容之一。由于微积分的大部分内容对于高中学生比较难以理解，作为课程内容出现的也不多，因此，此段内容的讲解可以将重点放在介绍数学家的生平、微积分思想和方法的发展轨迹以及微积分在数学中的地位和微积分的发明对于科学发展的意义上，本着开阔视野，激发学生学习数学兴趣为目的。第六讲、近代数学两巨星三、分析的化身——欧拉四、数学王子——高斯欧拉和高斯对十八和十九世纪数学的发展作出了重要贡献。欧拉是历史上最高产的数学家，他双目失明之后仍然以惊人的记忆力和心算技巧继续进行科学创作，表现了数学家崇高的意志品质和追求真理的精神境界。高斯在幼年时期就表现出超人的数学天才，有著名的在计算连加的自然数时利用技巧很快作出答案和在大学二年级发现正十七边形的尺规作图法的故事。所以，这一部分内容以数学家的生平事迹为主要线索展开。可以选择学生自主收集资料、讲故事、写小论文的形式。第七讲、千古谜题一、三次、四次方程求根公式的发现二、高次方程可解性问题的解决三、伽罗瓦与群论四、古希腊三大几何问题的解决阿贝尔和伽罗华是在中学时代就很喜欢数学、并在青年时代就对数学作出了很大贡献的数学家。他们从解决五次以上方程的根式解问题出发，经过努力成为数学中重要学科近世代数的创始人，利用近世代数的理论可以解决流传了二千多年未能解决的谜题—几何作图三大难题。这一段内容突出故事性和思想性，并介绍3次和4次方程的根式解问题及其解决过程，而几何作图三大问题与模块2《古希腊数学》中的尺规作图部分承接。由于内容难度较深，所以，讲解以故事为主，并不需要学生掌握解题。第八讲、对无穷的深入思考四、古代的无穷观念五、无穷集合论的创立六、集合论的进一步发展与完善对无限的认识和用数学表示出来是自古希腊数学以来二千多年摆在数学家面前的问题。希腊人在理性数学的早期已经接触到了无限性概念，最有代表性的是伊利亚学派的芝诺提出的著名的四个悖论，将当时对无限性概念认识所遇到的困难揭示无疑。可以安排介绍这四个