《数学史》课件

数学史扬州大学数学科学学院朱家生2012年2月参考书目:1、M•克莱因著：《古今数学思想》；2、鲍尔加尔斯基著：《数学简史》；3、梁宗巨著：《世界数学史简编》；4、李迪著：《中国数学史简编》.绪论：学习与研究数学史的意义1.对数学科学有一个整体的认识；2.可帮助找到最根本的教学方法；3.是进行辩证唯物主义、历史唯物主义和爱国主义教育的素材；4.是数学课程改革与发展的需要。法国著名数学家庞加莱曾说过:“如果我们想要预知数学的未来,最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状.”本课程以数学发展的脉络为主线,系统介绍数学科学的历史,并对其一些重要的思想方法进行探讨.庞加莱（JulesHenriPoincaré，1854─1912）目录1、数学的萌芽2、希腊的数学3、印度与阿拉伯的数学4、中国的古代数学5、欧洲文艺复兴时期的数学6、解析几何的产生7、微积分的创立8、现代数学选论1、源自河谷的古老文明—数学的萌芽1.1古埃及的数学1.2古巴比伦的数学1.1古埃及的数学古代埃及所处的地理位置尼罗河是世界上最长的河流之一.公元前3000年左右古埃及人在此建立起了早期的奴隶制国家.农业,手工业与贸易的发展推动了自然科学各学科知识的积累.胡夫金字塔大约建于公元前2500年左右.该金字塔呈正四棱锥形,面向东西南北四个正方向，边长230.5m，塔高146.6m.其底基正方形边长的相对误差不超过1∶14000，四底角的相对误差不超过1∶27000，即不超过12，四个方向的误差也仅在2'～5'之间.古埃及的胡夫Khufu金字塔保存至今有关数学的纸草书主要有两种：兰德纸草书,长544cm，宽33cm，共载有85个问题;莫斯科纸草书,长544cm，宽8cm，共载有25个问题.这两份纸草书都是公元前2000年前后的作品，为古埃及人记录一些数学问题的问题集.古埃及纸草书1.1.1古埃及的记数制与算术古埃及人也有分数的概念，但他们仅使用单位分数也就是分子为1的分数，表示整体的若干等份中的一份.埃及人使用的是十进记数制，并且有数字的专门符号古埃及人的乘法运算与除法运算是通过迭加、而且是通过列表的方式来进行的.n33n1332664132826416528α8α1/811/421/2418216例:26×33=858例:19÷8=2+1／4+1／81.1.2古埃及的代数例4:在一个人的财产中，有七间房子，每间房子里七只猫，每只猫能捉七只老鼠，每只老鼠能吃七穗大麦，而每穗大麦又能长出七俄斗大麦，问这份财产中房子、猫、老鼠、麦穗和麦子总共有多少?247xx（1）解方程的方法-----”试位法”例1:求解方程例2:卡洪纸草书中记载了下列问题：将给定的100单位的面积分为两个正方形，使二者的边长之比为3∶4.（2）等差数列和等比数列问题例3:兰德纸草书中记载了下列问题：今将10斗麦子分给10个人，每人依次递降1/8斗，问各得多少?1.1.3古埃及的几何学•古埃及人知道:•任何三角形的面积均为底与高的乘积的一半；•圆的面积等于直径的的平方，由此可知，他们把圆周率近似地取为3.16;•直圆柱的体积为底面积与高的乘积.•古埃及数学中“最伟大的埃及金字塔”:hbabaV)(31221.2古巴比伦的数学古巴比伦，又称美索波大米亚，位于亚洲西部的幼发拉底与底格里斯两河流域.公元前2000年左右，古巴比伦人在这里建立起了自己的奴隶制王国.古巴比伦空中花园全景古巴比伦空中花园一角•古巴比伦的数学记载在泥版书上.所用文字为楔形文字.1.2.1古巴比伦的记数制与算术•古巴比伦人很早就有了数的写法，他们用楔形文字中较小的(竖写)代表１，较大的（竖写）代表60.由此可知，古巴比伦人的记数系统是60进制.他们还用较小的(横写)代表10，较大的(横写)代表100.•古巴比伦人也使用分数•古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的.1.2.2古巴比伦的代数•(1)求解方程:例:英国大不列颠博物馆13901号泥板记载了这样一个问题：“我把我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二得35/60，求该正方形的边长.”这个问题相当于求解方程•其解法相当于将方程的系数代入公式求解.•(2)在洛佛尔博物馆的一块泥板上，人们还发现了两个级数问题.用现代形式可表述为6035322xxqpxx22)2(2pqpx1222221999238555)3210311(103212222哥伦比亚大学普林顿收集馆中收藏的第322号泥板•该泥板已缺损了一部分，在残留的部分上刻有三列数，专家研究认为：这是一张勾股数(即的整数解)表，并且极有可能用到了下列参数式•.•这是1000多年后古希腊数学一个极为重要的成就.2222,,2vuzvuyuvx1.2.3古巴比伦的几何已熟悉了长方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面积的计算和长方体，以及特殊梯形为底的直棱柱体积计算的一般规则，他们知道取直径的三倍为圆周的长，取圆周平方的1/12为圆的面积，还用底和高相乘求得直圆柱的体积.古巴比伦人还有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组合的本领.但他们错误地认为，圆台或方棱台的体积是两底之和的一半与高的乘积.1.2.4古巴比伦的天文学•古巴比伦人已开始使用年、月、日的天文历法，一年有12个月，第一个月是以“金牛座”命名的，每月有30天，每6年加上第13个月作为闰月.•一个星期有7天，这7天是以太阳、月亮和金、木、水、火、土七星来命名的，每个星神主管一天，如太阳神主管星期日.•他们把圆周分为360度，每度60分，每分60秒，1小时60分，1分60秒的记法，也是来自古巴比伦.在古巴比伦或古埃及数学中，虽然出现了一些令人信服的数表和许多重要的公式，但:仅表现为对于一些实际问题观察的结果和某些经验的积累;数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们觉察;数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量问题的工具或者方法.其所给出的仅仅是“如此去做”，而基本没有涉及到“为什么要这样做”，这标志着他们的数学还远远地没有进入理性思维的阶段.第一章思考题1、世界四大文明古国是哪几个？它们的古老文明各自又有哪些特征？2、数学最基本、最古老的概念有哪些？它们在数学科学的发展中有什么重要作用？3、古巴比伦人和古埃及人解方程各自用了什么方法?试举例予以说明。4、古巴比伦人在天文学研究方面有什么创见？他们留下的遗产哪些在我们的生活中还在使用？5、普林顿322号泥版书上记载了古巴比伦人怎样的数学成就？其有什么重要的数学意义？6、人称古埃及数学中“最伟大的金字塔”指的是什么？它有什么重要的数学价值？2、地中海的灿烂阳光—希腊的数学2.1希腊数学文明的一些背景材料2.2爱奥尼亚学派2.3毕达哥拉斯学派2.4巧辩学派2.5柏拉图学派2.6原子论学派2.1希腊数学文明产生公元前8世纪前后，希腊进入奴隶制形成时期，产生了许多奴隶制城邦，并在东西地中海及黑海一带兴建了许多殖民城市，这些城市加强了希腊与海外各地的联系。公元前6世纪开始，希腊出现了欧洲文化的第一个高峰，希腊数学就是其中的最重要的成就之一。人们通常将公元前6世纪至公元前3世纪称为古典时期，公元前3世纪至公元6世纪称为亚历山大时期。其中希腊数学古典时期的的众多数学学派的工作将数学研究推到了一个新阶段。2.2.1爱奥尼亚学派与泰勒斯•泰勒斯（Thales，公元前636—公元前546年）诞生于爱奥尼亚的海滨城市米利都；•泰勒斯早年是一个精明的商人，青壮年时代积累了足够的财富，使他后半生能够从事游历与研究；•他的一些奇闻轶事。“希腊科学之父”——泰勒斯下述五个命题的发现是应归功于泰勒斯的：(１)圆被任一直径二等分;(２)等腰三角形的两底角相等；(３)两条直线相交，对顶角相等；(４)两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等；(５)(泰勒斯定理)内接于半圆的角必为直角.泰勒斯对数学的贡献更重要的是在于泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理.例如对于“两条直线相交，对顶角相等”.泰勒斯是这样证明的：如图，∠a加∠c等于平角，∠b加∠c也等于平角，因为所有的平角都是相等的，所以∠a等于∠b(等量减等量，余量相等).这表明，从泰勒斯开始，人们已不再仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了.换句话说，实际上泰勒斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉.泰勒斯还被西方学者称为“测量学的鼻祖”.据说他曾利用相似直角三角形通过测量手杖和金字塔的影长求出金字塔的高度，还用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离.爱奥尼亚学派在哲学特别是自然哲学方面的工作也是无与伦比的，他们肯定在一切表面现象的千变万化之中，有一种始终不变的东西，这一原始物质的内蕴本质是守恒的，而所有的物质形式都可用它来解释.这种理性思维的观念，正是希腊科学精神的的精髓之所在.2.1.2毕达哥拉斯学派与“万物皆数”毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572～约公元前497)是古希腊哲学家、数学家、天文家和音乐理论家.出生于爱琴海中的萨摩斯岛(Samos，今希腊东部小岛).青年时期他曾经离开家乡到世界各地游学.40岁左右，他定居意大利半岛南部的克罗多内(Crotone)，并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派.在学术方面，这个学派主要致力于哲学和数学的研究.毕达哥拉斯学派认为:事物的本原是数.世界上的万事万物及其运动变化规律都可以用整数或者整数之比表示出来.这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是数学化思想的最初表述形式.1.“万物皆数”的思想2.对自然数的分类•毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的研究，他们定义了许多概念.•一个数等于其（除本身以外的）全部因子之和称之为完全数，如28（＝1＋2＋4＋7＋14）;•一个数小于其（除本身以外的）全部因子之和称之为亏数，如12（＜1＋2＋3＋4＋6);•一个数大于其（除本身以外的）全部因子之和称之为盈数,10（＞1＋2＋5）.•若两个数中任一个数（除本身以外的）全部因子之和都等于另一个数则称为亲和数.,如220与284为亲和数.因为220的因子之和为（1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝）284，而284的因子和为（1＋2＋4＋71＋142＝）220.3.对形数的研究•毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的.他们常把数以点的形式排成各种图形.如图:由图知易1，1+2，1+2+3，1+2+3+4+…这些和数都是三角形数，第n个三角形数是2)1(321nnn又如其中1，4，9，16，…是正方形数，第n个正方形数是n2.由此易得,前n个奇数之和即为n的平方.4.关于数学美的研究•毕达哥拉斯学派还认为，“美是和谐与比例”，•他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动.•最完美的数是10，因为10＝1＋2＋3＋4，并将1，2，3，4称为四象.•在音乐研究中他们发现，如果一根弦是另一根弦长的两倍，那么两者发出的音就相差8度.认为音乐的基本原则是数量原则，音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重各种不同的音调，按照一定数量比例组成的.他们研究了一些美的比和比例关系，提出了算术平均值（以Ｍ表示）、几何平均值（以Ｇ表示）和调和平均值（以Ｈ表示）：对Ａ，Ｂ为两已知数，BAHABGBAM112,,2.他们发现，M∶G=G∶H，A∶H=M∶B，称前者为完全比例，后者为音乐比例.以此为出发点，毕达哥拉斯学派建立了他们的音乐理论.毕达哥拉斯把“美是和谐与比例”的科学美学思想用于音乐和天文学，并十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学、医学等领域.5.关于勾股定理的研究西方学者认为，有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的.据传，毕达哥拉斯学派为了庆祝