《球的表面积和体积》

球的表面积和体积球人类的家－－地球人类未来的家－－火星探索火星的航天飞船如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？实际问题一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？实际问题怎样求球的表面积和体积？提出问题球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？h实验：排液法测小球的体积实验方法h实验：排液法测小球的体积实验方法小球的体积等于它排开液体的体积曹冲称象H假设将圆n等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多边形)(2113221AAAAAApn正多边形pC21圆正多边形时，当CCRpn,2221RRRS圆pA3回顾圆面积公式的推导温故知新割圆术早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”．他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”．这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”．这是世界上最早的“极限”思想．极限思想,21RRr,)(222nRRr已知球的半径为R,用V表示球的体积..)2(223nRRrAOAOB2C2r2r3r1球的体积OR)1(inR半径：层“小圆片”下底面的第i.,2,1,)]1([22niinRRriirOA球的体积nininRnRrVii,2,1],)1(1[232niinRRri,,2,1,)]1([22nVVVV21半球])1(21[22223nnnnR]6)12()1(1[23nnnnnnR]6)12)(1(11[23nnnR球的体积]})1(1[]21[]11[1{222223nnnnnR6)12()1()1(21222nnnn]6)12)(11(1[3nnRV半球.01,nn时当.343233RVRV从而半球334RVR的球的体积为：定理：半径是球的体积在球的体积公式的推导过程中，使用了“分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积”的方法：球的体积即先将半径n等分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当n无限变大时，就可得到半球的体积．例1.钢球直径是5cm,求它的体积.3336125)25(3434cmRV例题讲解(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.142]34)25(34[9.733x3.1149.73142)25(33x由计算器算得:24.2x5.42x例题讲解球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式．球的表面积第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：nSSSS,,321，，则球的表面积：nSSSSS321则球的体积为：iV设“小锥体”的体积为iVnVVVVV321iSOO球的表面积第二步：求近似和ih由第一步得：nVVVVV321nnhShShShSV31313131332211iiihSV31OiSiVO球的表面积第三步：化为准确和RSVii31如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥RSRSRSRSVni3131313132RSSSSSRni31)...(3132334RV又球的体积为：RiSiVihiSOiV,31343RSRRhi的值就趋向于球的半径球的表面积.42RS从而例1已知球的表面积为4π，求它的体积解设球的半径为R，则4πR2＝4π，解得R＝1，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.所以球的体积34R4V=33变式练习1已知球的体积为36π，求它的表面积（）A12πB24πC36πD48π34RR=36R=33解：设球的体积是，则，解得c题型一球的表面积与体积题型二球的组合体与三视图例2（2016年辽宁卷）某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积__________________.解：由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.该几何体的表面积是为24+24+反思与感悟1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍.(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍.(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是.(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是.2422:134:1随堂练习影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.球半径的求法方法一：直接法方法二：构造直角三角形方法三：补形一、直接法正方体的内切球,棱切球,外接球正方体与球切点：各个面的中心。球心：正方体的中心。直径：相对两个面中心连线。o球的直径等于正方体棱长。aR2一、正方体的内切球例题3(2015年全国卷改编)一个球内切于棱长为2的正方体，求它的表面积。题型三球的切接问题ABCDD1C1B1A1O大显身手我最棒S=41R二、正方体的棱与球相切（棱切球）球的直径等于正方体一个面上的对角线长aR22切点：各棱的中点。球心：正方体的中心。中学学科网直径：“对棱”中点连线例4、一个球与这个棱长为2的正方体各条棱相切，求它的体积。ABCDD1C1B1A1O8232222RaABCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。三、正方体的外接球2a23RaaR32例5、一个球过这个棱长为2的正方体的各个顶点，求这个球的表面积.ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O122323Ra正方体的内切球，棱切球，外接球三个球心合一1:2:3半径之比为：长方体的外接球对角面22ab2222RabcRcbalcba2222，则、、分别为设长方体的长、宽、高例6、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．都不对B【解题关键】正方体的体对角线与球的直径相等。练习.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt得中略解：ABCDD1C1B1A1O正方体的外接球变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系2a22a二、构造直角三角形球的性质1.用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。大圆--截面过球心,半径等于球半径;小圆--截面不过球心A2.球心和截面圆心的连线垂直于截面2223.dRrRrd球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径的关系：.34R.96491644S2R,)332()2R(R222OABCO,,222AOOOOAAOORt中解：在;81256)34(343433RV例7.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．12变式、平面截球O所得截面圆的半径是，球心O到截面的距离是，则此球的体积是解析如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，''2,1OOOM则22(2)13OM34(3)433V=3R即球的半径43反思与感悟：利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.MOO’MOO’三、补形法ACBPO               a例8：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，其外接球的表面积是?类型一、棱两两垂直23aADCBP（高考题全国卷第题）在四棱锥中，棱两两垂直，，顶点都在球上，则球的表面积是（）20159P-ABCDAB,AD,APAD=1,AB=6,AP=3P,A,B,C,DOOA4B8C16D20C,a    DAABCABBCDAABOABCDOBC变式2：已知球的面上四点、、、，则球的体积等于？平面，,32Ra332Va2014A-BCDAB,AC,ADAB=1,AD=6,AC=3A,B,C,DOOA4B8C16D20年全国卷改编题在三棱锥中，侧棱两两垂直，，顶点都在球上，则球的表面积是（）C 9P-ABCABCPA=8PB=PC=73AB=3例：已知三棱锥中，三角形为等边三角形，且，，，则其外接球的体积为？类型二、直棱柱4,3dr2219Rdr76193V变式、已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为．，则此球的表面积等于_________．解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径，从而解决问题。rCc2sin1121sin6032AA解：由已知条件得：12AA2222cos603ABCBCABACABAC在中由余弦定理得3BCABCr设的外接圆的半径为，22sin60BCr则1r22221=+=1+1=22AARr外接球的半径（）2=48SR32,1,60ABACBAC111ABCABCABCDOABCDO求正四面体外接球的半径求正方体外接球的半径例10.求棱长为a的正四面体D–ABC的外接球的表面积。64Ra232a类型四、正四面体与球