人教版九年级数学上册-第22章-二次函数知识点汇总

1★二次函数知识点汇总★姓名：。1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数2axy的性质(1)抛物线2axy）（0a的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数2axy的图像与a的符号关系.①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴(或重合)的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是hx.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；③0ab(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0，c)：2①0c，抛物线经过原点;②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x(y轴)(0,0)kaxy20x(y轴)(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)11.用待定系数法求二次函数的解析式根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。〈一〉三点式。1，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0），B（32，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=a(x-1)２+4，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。〈二〉顶点式。1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=4(x+a)2-2a的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。〈三〉交点式。1，已知抛物线与x轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与x轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。〈四〉定点式。1，在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线2225212axaxy经过x轴上一定点Q，直线2)2(xay经过点Q,求抛物线的解析式。2，抛物线y=x2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。〈五〉平移式。2，把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a(x-h)2+k,求此抛物线解析式。2，抛物线32xxy向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.〈六〉距离式。1，抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。32，已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。〈七〉对称轴式。1，抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。1，已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交y轴于点C,且OB-OA=43OC，求此抛物线的解析式。〈八〉对称式。1.平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y轴于E，将三角形ABC沿x轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2.求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。〈九〉切点式。1，已知直线y=ax-a2(a≠0)与抛物线y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式。2，直线y=x+a与抛物线y=ax2+k的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。〈十〉判别式式。1.已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。2.已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。3.已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。12.直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(c,0)(2)与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).(3)抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.(5)一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组4cbxaxynkxy2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB44422212212212113．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程cbxaxy2是二次函数cbxaxy2当y的值为0时的情况．(2)二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当0y时自变量x的值，即一元二次方程02cbxax的根．(3)当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2有两个不相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程02cbxax有两个相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程02cbxax没有实数根14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．知识点一、二次函数的概念1．下列函数中，其形状为抛物线的是（）A．xy3B．5xyC．xy21D．221xy2．若函数13112xxmym是二次函数，则m的值为.3．若二次函数12mxxy的图象经过点（2，1），则m的值为.5知识点二、二次函数的图象和性质1、二次函数的性质：二次函数cbxaxy2khxay2开口方向a＞0时，开口；a＜0时，开口。a＞0时，开口；a＜0时，开口。对称轴顶点坐标（，）（，）练一练：函数开口方向对称轴顶点坐标2xy122xy2)2(3xy1)5(22xy322xxy2、二次函数的增减性以分界.（1）当a＞0，在对称轴的左侧，曲线从左往右.即当x时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，曲线从左往右.即当x时，y随x的增大而.（2）当a＜0，在对称轴的左侧，曲线从左往右.即当x时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，曲线从左往右.即当x时，y随x的增大而.3、二次函数的最值在处取得.（1）当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最点，因而y有值；（2）当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最点，因而y有值；练一练：（1）二次函数1)5(22xy，当x＝时，y有最值为；当x时，y随x的增大而；当x时，y随x的增大而。（2）抛物线22xxy上三点（－2，a）、(－1，b)，（3，c），则a、b、c的大小关系是（）A、a＞b＞cBb＞a＞cCc＞a＞bD无法比较大小6-5-4-3-2-1O12345xy-114、二次函数的平移规律：平方内，。（1）把抛物线221yx向左平移2个，再向上平移3个单位，所得的函数关系式是（）A、22(2)4yxB、22(2)2yxC、22(2)4yxD、22(2)6yx（2）将抛物线522xxy先向下平移1个，再向左平移4个单位，则平移后的函数式是：练一练：已知抛物线的解析式为4)1(2xy，请按下列要求作答：（1）开口向_______，顶点坐标是_________，对称轴是_________，（2）在右边空白处画出它的大致图像；（3）观察图像，当x时，y随x的增大而，当x时，y随x的增大而，当x=_______时，y有最______值=________。（4）图像与x轴的交点是：，与y轴的交点是：。（5）当时，y0；当时,y0。（6）抛物线4)1(2xy可以看作是由抛物线y＝-x2向平移个单位，再向平移个单位得到的.知识点三、二次函数的顶点坐标的求法：1、法2、法、3、法1、说出下列二次函数的顶点坐标和对称轴（1）y＝2(x＋1)2－3（2）y＝－(x-5)2－4（3）y＝－3(x＋4)2＋1（4）y＝12(x－2)2＋3一般地，二次函数y＝a(x-h)2＋k，其顶点坐标为2、用简捷的方法求出下列二次函数的顶点坐标（1）122xxy（1）108312xxy（3）25.160xxy（4）xxy2363、已知抛物线222yxx．（1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标；（2）列表、描点、连线，得函数图象；x……y……（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．7知识点四、