对数函数练习题

第1页共10页学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知下列函数：①y＝log12(－x)(x0)；②y＝2log4(x－1)(x1)；③y＝lnx(x0)；④y＝log(a2＋a)x(x0，a是常数)．其中为对数函数的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】对于①，自变量是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，lnx的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝a＋122－14，当a＝－12时，底数小于0，故④不是对数函数．故选A.【答案】A2．函数y＝1＋log12(x－1)的图象一定经过点()A．(1,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(2,0)【解析】∵函数y＝log12x恒过定点(1,0)，而y＝1＋log12(x－1)的图象是由y＝log12x的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，故函数y＝1＋log12(x－1)恒过的定点为(2,1)．故选C.【答案】C3．函数y＝1log2x－2的定义域为()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞)D．(2,4)∪(4，＋∞)第2页共10页【解析】要使函数有意义，则x－20log2x－2≠0，解得x＞2且x≠3，所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．故选C.【答案】C4．已知0＜a＜1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是()【解析】函数y＝ax与y＝logax互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，y＝loga(－x)与y＝logax的图象关于y轴对称，又0＜a＜1，根据函数的单调性即可得D正确．故选D.【答案】D5．函数f(x)＝loga(x＋2)(0a1)的图象必不过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.【答案】A学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是()A．(－∞，7]B．(2,7]第3页共10页C．[7，＋∞)D．(2，＋∞)【解析】由lg(2x－4)≤1，得02x－4≤10，即2x≤7，故选B.【答案】B2．函数f(x)＝|log12x|的单调递增区间是()A.0，12B．(0,1]C．(0，＋∞)D．[1，＋∞)【解析】f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．【答案】D3．已知loga13logb130，则下列关系正确的是()A．0ba1B．0ab1C．1baD．1ab【解析】由loga130，logb130，可知a，b∈(0,1)，又loga13logb13，作出图象如图所示，结合图象易知ab，∴0ba1.【答案】A4．若a＝20.2，b＝log4(3.2)，c＝log2(0.5)，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a【解析】∵a＝20.2＞1＞b＝log4(3.2)＞0＞c＝log2(0.5)，∴a＞b＞c.故选A.【答案】A5．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的第4页共10页值为()A.14B.12C．2D．4【解析】当a1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝12(舍去)．当0a1时，1＋a＋loga2＝a，∴loga2＝－1，a＝12.【答案】B二、填空题6．函数f(x)＝log123x－2的定义域是________．【解析】要使函数f(x)有意义，则3x－20log123x－2≥0，即3x－203x－2≤1，解得23＜x≤1，故函数的定义域的23，1.【答案】23，17．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(22)＝________.【解析】设f(x)＝logax(a0，且a≠1)，则－3＝loga8，∴a＝12，∴f(x)＝log12x，f(22)＝log12(22)＝－log2(22)＝－32.【答案】－328．已知函数y＝log22－x2＋x，下列说法：①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点．其中正确的是________.【解析】由于函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称，又f(－x)＝log22＋x2－x＝－log22－x2＋x＝－f(x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为第5页共10页当x＝0时，y＝0，所以③正确．【答案】①③二、填空题6．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．【解析】－x2＋3x＋4＝－x－322＋254≤254，∴有0－x2＋3x＋4≤254，所以根据对数函数y＝log0.4x的图象即可得到：log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4254＝－2，∴原函数的值域为[－2，＋∞)．【答案】[－2，＋∞)7．已知函数f(x)＝m＋log2x2的定义域是[1,2]，且f(x)≤4，则实数m的取值范围是________.【解析】∵函数f(x)＝m＋log2x2在[1,2]上单调递增，∴函数f(x)的值域为[m,2＋m]，∵f(x)≤4，∴2＋m≤4，解得m≤2，∴实数m的取值范围是(－∞，2]．【答案】(－∞，2]8．已知函数f(x)＝lg(x2＋1＋x)，且f(a)＝3，则f(－a)＝________.【解析】∵f(－x)＝lg(x2＋1－x)，∴f(－x)＋f(x)＝lg(x2＋1－x2)＝lg1＝0，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又f(a)＝3，故f(－a)＝－f(a)＝－3.【答案】－3三、解答题9．已知函数f(x)＝logax＋1x－1(a0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性．第6页共10页【解】(1)要使函数有意义，则有x＋1x－10，即x＋10x－10或x＋10x－10，解得x1或x－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)由于f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝loga－x＋1－x－1＝logax＋1x－1＝－logax＋1x－1＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．10．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．【解】∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝lg(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，∴f(x)的解析式为f(x)＝lgx＋1，x00，x＝0－lg1－x，x0，∴f(x)的大致图象如图所示．三、解答题9．已知函数y＝(log2x－2)log4x－12，2≤x≤8.(1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；(2)求该函数的值域．【解】(1)y＝12(t－2)(t－1)＝12t2－32t＋1，又2≤x≤8，∴1＝log22≤log2x≤log28＝3，第7页共10页即1≤t≤3.(2)由(1)得y＝12t－322－18，1≤t≤3，当t＝32时，ymin＝－18；当t＝3时，ymax＝1，∴－18≤y≤1，即函数的值域为－18，1.10．已知函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．(1)求函数y＝f(x)的定义域；(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性；(3)若f(2m－1)＜f(m)，求m的取值范围．【解】(1)要使函数有意义，则3＋x03－x0，解得－3＜x＜3，故函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)．(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)，关于原点对称．对任意x∈(－3,3)，则－x∈(－3,3)．∵f(－x)＝ln(3－x)＋ln(3＋x)＝f(x)，∴由函数奇偶性可知，函数y＝f(x)为偶函数．(3)∵函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)＝ln(9－x2)，由复合函数单调性判断法则知，当0≤x＜3时，函数y＝f(x)为减函数．又函数y＝f(x)为偶函数，∴不等式f(2m－1)＜f(m)，等价于|m|＜|2m－1|＜3，解得－1＜m＜13或1＜m＜2.[能力提升][能力提升]1．满足“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”的函数可以是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝2xC．f(x)＝log2xD．f(x)＝elnx【解析】∵对数运算律中有logaM＋logaN＝logaMN，∴f(x)＝log2x，满足第8页共10页“对定义域内任意实数x，y，f(x·y)＝f(x)＋f(y)”．故选C.【答案】C2．已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是()【解析】由lga＋lgb＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝1b，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．【答案】B3．设函数f(x)＝logax(a0，且a≠1)，若f(x1x2…x2017)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22017)的值等于________．【解析】∵f(x21)＋f(x22)＋f(x23)＋…＋f(x22017)＝logax21＋logax22＋logax23＋…＋logax22017＝loga(x1x2x3…x2017)2＝2loga(x1x2x3…x2017)＝2f(x1x2x3…x2017)，∴原式＝2×8＝16.【答案】164．若不等式x2－logmx0在0，12内恒成立，求实数m的取值范围.【解】由x2－logmx0，得x2logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示．要使x2logmx在0，12内恒成立，只要y＝logmx在0，12内的图象在y＝x2第9页共10页的上方，于是0m1.∵x＝12时，y＝x2＝14，∴只要x＝12时，y＝logm12≥14＝logmm14，∴12≤m14，即116≤m.又0m1，∴116≤m1，即实数m的取值范围是116，1.1．若loga341(a0且a≠1)，则实数a的取值范围是()A.0，34B.0，34∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)【解析】当a1时，loga3401，成立．当0a1时，y＝logax为减函数．由loga341＝logaa，得0a34.综上所述，0＜a＜34或a1.【答案】B2．函数f(x)＝2x2－8ax＋3x1logaxx≥1在x∈R内单调递减，则a的范围是()A.0，12B.12，58C.12，1D.58，1【解析】若函数f(x)＝2x2－8ax＋3x1logaxx≥1在x∈R内单调递减，则2a≥10a12·12－8a＋3≥0，解得12≤a≤58，故选B.第10页共10页【答案】B3．当0＜x≤12时，4x＜logax，则a的取值范围是()A．(2，2)B．(1，2)C.22，1D.0，22【解析】当0＜x≤12时，函数y＝4x的图象如图所示，若不等式4x＜logax恒成立，则y＝logax的图象恒在y＝4x的图象的上方(如图中虚线所示)，∵y＝logax的图象与y＝4x的图象交于12，2点时，a＝22，故虚线所示的y＝logax的图象对应的底数a应满足22＜a＜1，故选C.【答案】C4．已知函数f(x