2018年初中数学联赛(初二年级)试题参考答案和评分标准

2018年初中数学联赛（初二年级）试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知251a，则268aa（）A.3．B.5．C.5．D.3．【答】A.因为12532aa，所以32(1)21aaaaaa，所以62228(21)8(1)4474(1)473aaaaaaaa.2．满足1)1(22xxx的整数x的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】C.当02x且012xx时，2x.当112xx时，2x或1x.当112xx且2x为偶数时，0x.所以，满足条件的整数x有3个.3．设1001n，且18n为完全平方数，则符合条件的整数n的个数为（）A.12．B.13．C.14．D.15．【答】B.易知18n只能为奇数的平方，设2)12(18ln，其中l为非负整数，则2)1(lln，所以1002)1(1ll，故131l.所以，满足条件的整数n有13个.4．已知点E，F分别在正方形ABCD的边CD，AD上，44CECD，FBCEFB，则EF＝（）A.23．B.10．C.134．D.175．【答】D.2018年初中数学联赛（初二年级）试题参考答案及评分标准第1页（共4页）由题意可得3,1DECE.设xDF，则xAF4，92xEF.作EFBH于点H.因为AFBFBCEFB，90BAFBHF，BF公共，所以△BAF≌△BHF，所以4BABH.由BCEDEFBEFABFABCDSSSSS四边形得14213219421)4(421422xxx，解得58x.所以21795EFx.5．已知非零实数zyx,,满足2161,10101,441222222xzzzyyyxx，则zyx（）A.1213．B.1219．C.1017．D.1019．【答】C.由条件得xzzyyx2161,10101,441222，三式相加，得zyxzyx104230111222，即0)51()21()11(222zyx，所以51,21,1zyx，故1017zyx.6．设20501202012019120181M，则M1的整数部分是（）A.60．B.61．C.62．D.63．【答】B.因为3320181M，所以335613320181M.又)205012032120311()203012019120181(M83230134520205011320301，所以13451185611345832301M，故M1的整数部分为61.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．若素数qp,满足1437332pqppq，则qp_______．【答】9.显然qp,不能均为奇数（否则等式左边为偶数，右边为奇数），于是2p或2q.（1）若2p，则可得32143430qq，解得7q.检验知)7,2(),(qp为一组解.2018年初中数学联赛（初二年级）试题参考答案及评分标准第2页（共4页）HDACBEF（2）若2q，则可得329439pp，此式一边为奇数一边为偶数，没有整数解.综上可知7,2qp，所以9qp.2．已知实数cba,,满足bacacbcba，则abcaccbba))()((．【答】1或8.设kbacacbcba，则3))()((kabcaccbba.当0cba时，1k.当0cba时，()()()2abbccakcab.所以1))()((abcaccbba或8.3．如图，在平行四边形ABCD中，ABBC2，ABCE于E，F为AD的中点，若48AEF，则B_______．【答】84.设BC的中点为G，连结FG交CE于H，由题设条件知FGCD为菱形.由DCFGAB////及F为AD的中点，知H为CE的中点.又ABCE，所以FGCE，所以FH垂直平分CE，故48AEFEFGGFCDFC.所以84482180FGCB.4．已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．【答】8.设这两个数为)(,22nmnm，则100022nmnm，即2(1)(1)1001mn.又100110011143791117713，所以2(1,1)mn＝(1001,1)或(143,7)或(91,11)或(77,13)，验证可知只有)7,143()1,1(2nm满足条件，此时8,1442nm.第二试一、（本题满分20分）已知E为四边形ABCD的边AB上的一点，90A，45B，4AB，22CD，2CEDE，求AD.解因为2DE，90DAE，所以4222DEADAE.①……………………5分由2CEDE，22CD可得90DEC，所以DEACEB90ADE.作ABCH于点H，则△ADE≌△HEC，所以EHAD，CHAE.………………10分HEFDGBCA2018年初中数学联赛（初二年级）试题参考答案及评分标准第3页（共4页）HEABDC在Rt△CHB中，45B，则HBCHAE，故24ABAEEHHBAEAD.②……………………15分联立①，②，解得56AE，58AD.……………………20分二、（本题满分25分）若实数zyx,,满足6zyx，)(21zxyzxyxyz，3(3)x33(3)(3)3yz，求xyz.解令3xa，3yb，3zc，mxyz，则3cba，3333abc，1()6()27(1)92abbccaxyyzzxxyzm，(3)(3)(3)abcxyz13()9()27(51)2xyzxyyzzxxyzm，………10分又因为333222()()3abcabcabcabbccaabc222()[(222)3()]3abcabcabbccaabbccaabc3()3()()3abcabcabbccaabc，所以311(3)3(3)[(1)9]3(51)322mm，……………………20分解得10m，即10xyz.……………………25分三、（本题满分25分）设cba,,都是大于1的正整数，且)1)(1)(1(cabcab能被abc整除，求所有满足条件的数组),,(cba.解因为1)()()1)(1)(1(2cabcabcbaabcabccabcab，且abc整除)1)(1)(1(cabcab，所以，存在正整数k使得kabccabcab1，则abccbak1111.……………………5分当cba时，111332kabca，所以1k.……………………10分此时bccabcababc31，所以3a，故2a.于是1222cbbcbc，故3)2)(2(cb，所以32,12cb，即5,3cb.故)5,3,2(),,(cba.……………………20分再由cba,,的对称性知，所有可能的数组),,(cba共有6组，即(2,3,5)，)3,5,2(，)5,2,3(，)2,5,3(，)3,2,5(，)2,3,5(.……………………25分2018年初中数学联赛（初二年级）试题参考答案及评分标准第4页（共4页）