二次函数与几何综合压轴题题型归纳

1一基础构图：y=322xx（以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P，使得ACP面积最大，求出P坐标★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为直角三角形，求出P坐标或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．★讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为等腰三角形，求出P坐标★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标OxyABCDOxyABCDOxyABCDOxyABCD2二综合题型例1(中考变式）如图，抛物线cbxxy2与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L，求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？(4)在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？3例2考点：关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．例3考点：讨论等腰如图，已知抛物线y＝21x2＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．例4考点：讨论直角三角DBCOAyxEBCOA备用图yxyxBAFPx＝1CO4⑴如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）．(A）2个（B）4个（C）6个（D）7个⑵已知：如图一次函数y＝21x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝21x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝21x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．例5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x的抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．OAByCxDE2BAyOCx5综合练习：1、平面直角坐标系xOy中，抛物线244yaxaxac与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为(1,0)，OB＝OC，抛物线的顶点为D。(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；(3)Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A，若2QBQA，求点Q的坐标和此时△QAA的面积。2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2+2yaxaxc的图像与y轴交于点30，C，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为03，。（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1：2的两部分，求出此时点M的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。3、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线xxmy222与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C。（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以QPMA、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。4、已知关于x的方程2(1)(4)30mxmx。6（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若正整数m满足822m，设二次函数2(1)(4)3ymxmx的图象与x轴交于AB、两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线3ykx与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。5如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋m－2的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．（1）若x1x2＜0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；（2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；（4）若过点D（0，12）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且MDDN＝13，求该直线的表达式．题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题例2已知二次函数y=x2+mx+m-5，7（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．题型三、抛物线方程的整数解问题例1．已知抛物线222(1)0yxmxm与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则整数m的值为_____________例2．已知二次函数y＝x2－2mx＋4m－8．（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；（2）以抛物线y＝x2－2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）若抛物线y＝x2－2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数．．m的值．题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1．已知抛物线2yxbxc（其中b0，c≠0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n)，且AB=2.(1)求m,b的值(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=20。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例1．已知：二次函数2y4xxm的图象与x轴交于不同的两点A（1x，0）、B（2x，0）（1x＜2x），其顶点是点C，对称轴与x轴的交于点D．（1）求实数m的取值范围；（2）如果（1x+1）（2x+1）=8，求二次函数的解析式；（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点1A、1B，顶点为点C1，且△111ABC是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．综合提升1．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且|AB|＝23，图象的对称轴为x＝1．AOxy8（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线y＝x＋m的下方，求m的取值范围．2．已知二次函数y＝－x2＋mx－m＋2．（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，求m的值；（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且S△MNC＝27，求m的值．3.已知关于x的一元二次方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个整数根，k＜5且k为整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝x2－2(k＋1)x＋k2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）根据直线y＝x＋b与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围．4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；（3）若二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为22，求m的值．四、中考二次函数定值问题1.（2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．92.（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线1l、2l．(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON为直径的圆与直线1l相切；(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线2l的距离之和等于线段MN的长．3.（2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线2422y=x+x273交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？4．（2011•株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a＜0)的性质时，将一把直角三