2019年考研数学一真题答案解析

第1页共13页2019年考研数学一真题解析一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0x时，若xxtan与kx是同阶无穷小，则kA.1.B.2.C.3.D.4.【答案】C【答案解析】根据泰勒公式有331~tanxxx，故选C.对泰勒不熟悉的同学，本题也可以用洛必达法则.2.设函数,0,ln,0,)(xxxxxxxf则0x是)(xf的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.【答案B】【答案解析】由于xxxx0lnlim0不存在（极限为无穷属于极限不错在），故0x是)(xf的不可导点.且当0)0(0)(,10;0)(,0fxfxxfx且，由极值定义可知，0x是)(xf的极值点，故选B.3.设nu是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1nnnuB.nnnu1)1(1.C.111nnnuu.D.1221nnnuu.【答案】D【答案解析】选项A：nu单调递增有界，知nu收敛,故limnnuu0，也就是n趋近无穷时，,nunn1故根据极限形式的比较审敛发，nnun1与nn11同敛散，而nn11发散，故选项第2页共13页A发散。本选项也可举反例=arctannnu；选项B：nu单调递增有界，知nu收敛.故1lim，故lim0nnnnuuu0，由数列收敛的必要条件可知B发散。本选项也可举反例=arctannnu；选项C：该选项最具迷惑性，一般项趋近0，是正项级数，单调减.但这种正项级数是否收敛取决于递减的速度。比如举反例n=nun1，=n+1n+2nnnnunu11121，根据极限形式的比较审敛法，该级数与nn12同敛散，因此发散。选项D：由题意可知，选项D为正项级数.又由于nu有界，即MuMn，使得存在，）（nnnnnnnnuuMuuuuuu1112212，nn()=lim++...+=limnnnnnnuuuuuuuuuuMu1213211111，因此，根据比较审敛法可知级数D收敛。当然也可以一开始就使用裂项相消，也能证明其收敛.4.设函数2),(yxyxQ，如果对上半平面（0y）内的任意有向光滑封闭曲线C都有CdyyxQdxyxP0),(),(，那么函数),(yxP可取为A.32yxy.B.321yxy.C.yx11.D.yx1.【答案】D【答案解析】由题意可知且21yxQyP要保证对于上半平面任意光滑闭曲线都成立，故也包含x=0一条线，故选D。A、B偏导数不符合，C在x=0处不连续，不成立。5.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若EAA22，且4A，则二次型AxxT第3页共13页的规范形为A.232221yyy.B.232221yyy.C.232221yyy.D.232221yyy.【答案】C【答案解析】由EAA22可知，矩阵的特征值满足;1,222的两个特征值为，所以A又知道行列式等于所有特征值的乘积，故矩阵的第三个特征值为-2，所以二次型的正、负惯性指数分别为1，2.故选C.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321idzayaxaiiii组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为AA,，则A..3)(,2)(ArArB..2)(,2)(ArArC..2)(,1)(ArArD..1)(,1)(ArAr【答案】A【答案解析】由图像可知平面两两分别相交，所以系数矩阵的秩大于等于2，又因为三个平面没有共同的交线，所以方程组无解，所以增广矩阵的秩为3.其相关知识如下：设平面123的方程所组成的线性方程组（下简称方程组）的系数矩阵和增广矩阵分别为A和A.下面根据线性代数和解析几何知识讨论其位置关系.因秩A秩A，秩A3,秩A1，故只有下述6种不同情况：（1）秩A=3=秩A时.●方程组有唯一解，三平面交于一点,下图（1）.（2）秩3A，秩2A时，因秩A秩A，方程组误解，因而3平面无交点.但因秩2A,必有两平面相交.又秩3A,3个平面又互异，于是可能有：●3平面两两相交，下图（2）.第4页共13页●3平面中有两平面相交，另一平面与其中一平面平行，下图（3）.（3）秩3A，秩1A.根据秩的定义易知这不可能.（4）秩2A秩A时，因秩A秩23An（未知数个数），方程组有无穷多个解，因而3平面有无穷多个交点，又因秩2A,必有两平面相交，秩2A,A说明3平面中至少有2个平面互异，于是可能有：●两平面相交，另一平面通过这交线，但3平面互异，下图4）.●两平面相交，另一平面与其中一平面重合，两平面互异，下图（5）.（5）.秩A2，秩A1时，秩A秩A，故方程组无解，3平面不相交.又因秩A1，且没有两平面相交，因而3平面平行.再因秩A2，3平面中至少有两平面互异.于是可能有.●3平面平行，且3平面互异，下图（6）.●3平面平行，其中有两平面重合，这时有两平面互异，下图（7）.（6）秩1A秩A时，因秩A秩A13n，方程组有无穷多个解.3平面有无穷多个交点，由秩A1知，没有两平面相交.而秩A1,说明3平面中至少有1个平面互异.如果有2个或3个平面互异，则它们必平行，这与3平面有无穷多个交点矛盾，于是只有一个不同平面，即●3个平面重合，下图（8）.7.设BA,为随机事件，则)()(BPAP的充分必要条件是A.).()()(BPAPBAP第5页共13页B.).()()(BPAPABPC.).()(ABPBAPD.).()(BAPABP【答案】C【答案解析】)()()()()()()()(BPAPABPBPABPABPAPBAP，故选CA选项是互斥或者叫互不相容。B选项是独立。D选项推不出来关系。8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布),(2N，则1YXPA.与无关，而与2有关.B.与有关，而与2无关.C.与2,都有关.D.与2,都无关.【答案】A【答案解析】222()0,()+2(,)2EXYDXYDXDYCovXY，因此1)21(2212)1,0(~2YXPNYX，所以因为，故选A.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.9.设函数)(uf可导，,)sin(sinxyxyfz则yzcosyxzcosx11=.【答案】xyyxcoscos【答案解析】秒杀法：令()1fu，则1zxy，yzcosyxzcosx11=xyyxcoscos正常方法：xyfyzyxfxzcos';)cos('，故yzcosyxzcosx11=xyyxcoscos第6页共13页10.微分方程02'22yyy满足条件1)0(y的特解y.【答案】23xey【答案解析】分离变量得xCeyCxyxdxdyyy2)2ln(222122代入初值可得C=3，故23xey11.幂级数nnnxn0)!2()1(在)0，（内的和函数)(xS.【答案】xxScos)(【答案解析】由xxnxnncos)()!2()1()!2()1(20nn0nn12.设为曲面)0(44222zzyx的上侧，则dxdyzx2244=.________【答案】332【答案解析】由题意可知：dxdyydxdyydxdyzxD2244其中4:22yxD由二重积分得对称性332sin420220drrddxdyyD13.设），，（321为3阶矩阵.若21，线性无关，且2132，则线性方程组0x的通解为.________.【答案】121kx，kR【答案解析】因为2)(2)(2)(ArArAr且方程组有解故，且由2132可知：31220，即0121321），，（，所以121为方程组的基础解系，第7页共13页所以通解为121kx,kR14.设随机变量X的概率密度为，其他，020,2)(xxxf，）（xF为X的分布函数，X为X的数学期望，则1XXFP）（.________.【答案】32【答案解析】X的概率密度为,02()20,其他xxfx32222100222322231184dd|22236300()0241212{()1}{()}{2}{2}3322d23243xxEXxxxxxxFxxxPFXEXPFXPXPXxPXxx三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(xy是微分方程2'2xexyy满足条件0)0(y的特解.(1)求)(xy；(2)求曲线)(xyy的凹凸区间及拐点.【答案解析】(1)00)0()()()(2222CyCxeCdxeeexyxxdxxxdx，所以22)(xxexy.第8页共13页(2)求导得：),3(),,3(),0,0(0)3()(''2323322eexxexyx，所以函数的拐点为由于指数函数部分恒大于0，因此讨论幂函数即可。二阶导大于0，函数为凹，因此凹区间为：),3()0,3(以及x；二阶导小于0，函数为凸，因此凸区间为：)3,0()3,(以及x.),3(),,3(),0,0(0)3(2323322eexxex，所以函数的拐点为16.（本题满分10分）设ba,为实数，函数222byaxz在点（3，4）处的方向导数中，沿方向jil43的方向导数最大，最大值为10.（1）求ba,；（2）求曲面222byaxz（0z）的面积.【答案解析】(1)2,2,xyzaxzby，在点（3，4）处的梯度为6,8aibj，因该梯度与jil43同向；最大值为10也就是梯度的模长为10，也就是最大方向导数为10，可得1105325184386bababa(2)方法一：该曲面222zxy为一个倒扣的碗形。可看做22zx绕z轴旋转生成的。可根据切土豆片法，202()Sxxdx213123方法二：该曲面222zxy为一个倒扣的碗形。根据重积分的应用知识，设区域22,|2Dxyxy2222222001zz14()13143xyDDSdxdyxydxdydrrdr17.求曲线)0(sinxxeyx与x轴之间图形的面积.第9页共13页【答案解析】)1(211211121][21][21sinsinsin)12(0)22()12(020)22()12(0)12(20eeeeeeeeexdxexdxedxxeSnnnnnnnnnxnnnxx18.设dxxxann1021，n=（0，1，2…）（1）证明数列na单调减少，且221nnanna（n=2，3…）（2）求1lim