2019考研数学二答案解析

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当0x→时，若tanxx−与kx是同阶无穷小，则k=A.1.B.2.C.3.D.4.【答案】C【解析】3tan~3xxx−−，所以选C.2、设函数π3πsin2cos()22yxxxx=+−的拐点A.ππ(,).22B.(0,2).C.(π,2).−D.3π3π(,).22−【答案】C.【解析】令sin0yxx=−=，可得πx=，因此拐点坐标为π2−（，）.3、下列反常积分发散的是A.0edxxx+−B.20edxxx+−C.20arctand1xxx++D.20d1xxx++【答案】D【解析】22001dln(1)12xxxx++=+=++，其他的都收敛，选D.4、已知微分方程¢¢y+a¢y+by=cex的通解为y=(C1+C2x)e-x+ex，则a、b、c依次为A、1,0,1B、1,0,2C、2,1,3D、2,1,4【答案】D.【解析】由通解形式知，121==−，故特征方程为221=21=0+++（），所以2,1ab==，又由于exy=是+2xyyyce+=的特解，代入得4c=.5、已知积分区域π{(,)|}2Dxyxy=+，221ddDIxyxy=+，222sinddDIxyxy=+，223(1cos)ddDIxyxy=−+，试比较123,,III的大小A.321IIIB.123IIIC.213IIID.231III【答案】C【解析】在区域D上22222220,sin4xyxyxy+++，进而213.III6、已知(),()fxgx的二阶导数在xa=处连续，则2()g()lim0()xafxxxa→−=−是曲线(),()yfxygx==在xa=处相切及曲率相等的A.充分非必要条件.B.充分必要条件.C.必要非充分条件.D.既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有2()g()()g()()g()limlimlim0.()2()2xaxaxafxxfxxfxxxaxa→→→−−−===−−从而有()(),()(),()()fagafagafaga===,即相切,曲率也相等.反之不成立,这是因为曲率322(1)yKy=+,其分子部分带有绝对值,因此()()faga=或()()faga=−;选A.7、设A是四阶矩阵，*A是A的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则*A的秩是（）A.0B.1C.2D.3【答案】A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2rA=，()3rA，()0rA=.8、设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若22+=AAE，且4=A，则二次型TxAx规范形为A.222123.yyy++B.222123.yyy+−C.222123.yyy−−D.222123.yyy−−−【答案】C【解答】由22+=AAE，可知矩阵的特征值满足方程220+−=，解得，1=或2=−.再由4=A，可知1231,2===−，所以规范形为222123.yyy−−故答案选C.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．9.20lim(2)xxxx→+=___________.【解析】022limln(2)0lim(2)exxxxxxxx→+→+=其中000221limln(2)2lim2lim(12ln2)2(1ln2)xxxxxxxxxx→→→+−+==+=+所以222ln220lim(2)e4xxxxe+→+==10.曲线sin1cosxttyt=−=−在32t=对应点处切线在y轴上的截距___________.【解析】dsind1cosytxt=−当32t=时，3d1,1,12dyxyx=+==−所以在32t=对应点处切线方程为322yx=−++所以切线在y轴上的截距为322+11.设函数()fu可导，2()yzyfx=，则2zzxyxy+=___________.【解析】223222()()()zyyyyyffxxxxx=−=−2222222()()()()()zyyyyyyfyfffyxxxxxx=+=+所以22()zzyxyyfxyx+=12.设函数lncos(0)6yxx=的弧长为___________.【解析】弧长2266600011()d1tanddcossyxxxxx=+=+=6011ln|tan|ln3ln3cos2xx=+==13.已知函数21sin()dxtfxxtt=，则10()dfxx=___________.【解析】设21sin()dxtFxtt=，则1100()d()dfxxxFxx=112212000111()d[()]d()222FxxxFxxFx==−211220011sin()dd22xxFxxxxx=−=−122100111sindcos(cos11)244xxxx=−==−14.已知矩阵1100211132210034−−−=−−A，ijA表示||A中(,)ij元的代数余子式，则1112AA−=___________.【解析】11121100100021112111||3221312100340034AA−−−−−−−===−−−A1111111210104034034−−−−=−==−三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e1,0,xxxxfxxx=+求()fx，并求()fx的极值.解:0x时,2ln2ln(0)(e)e(2ln2)xxxxfx==+;0x时,()(1)exfxx=+;又2ln00()(0)e1(0)limlim0xxxxfxffxx+++→→−−==−002lnlimlim2lnxxxxxx++→→===−,所以(0)f不存在,因此22(1ln),0,()(1)e,0.xxxxxfxxx+=+令()0fx=,得驻点1311,exx=−=;另外()fx还有一个不可导点20x=;又(,1)−−为单调递减区间,(1,0)−为单调递增区间,1(0,)e为单调递减区间,1(,)e+为单调递增区间;因此有极小值1(1)1ef−=−和极小值2e1()eef−=,极大值(0)1f=.16、（本题满分10分）求不定积分2236d.(1)(1)xxxxx+−++解:2222362321d[]d(1)(1)1(1)1xxxxxxxxxxx++=−++−++−−++232ln1ln(1)1xxxCx=−−−++++−17、（本题满分10分）()yyx=是微分方程221e2xyxyx−=满足(1)ey=的特解.（1）求()yx；（2）设平面区域{(,}|12,0()}Dxyxyyx=，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.解(1)2dd21()e[eed]2xxxxxyxxCx−=+22221e(d)e()2xxxCxCx=+=+;又由(0)ey=得0C=,最终有22()exyxx=.(2)所求体积22222211π(e)dπedxxVxxxx==2241ππe(ee)22x==−.18、已知平面区域D满足2234,()xyxyy+，求22ddDxyxyxy++.解:由xy可知区域D关于y轴对称,在极坐标系中,π3π44;将cos,sinxryr==代入2234()xyy+得2sinr;由奇偶对称性,有2πsin2π222204sindddd2ddDDxyyrxyxyrrrxyxy+==++ππ52222ππ44432sind(1cos)dcos120==−−=19、设n为正整数，记nS为曲线esin(0π)xyxxn−=与x轴所围图形的面积，求nS，并求limnnS→.解:设在区间[π,(1)π]kk+(0,1,2,,1)kn=−L上所围的面积记为ku,则(1)π(1)πππe|sin|d(1)esindkkxkxkkkuxxxx++−−==−;记esindxIxx−=,则edcos(ecoscosde)xxxIxxx−−−=−=−−ecosedsinecos(esinsinde)xxxxxxxxxx−−−−−=−−=−−−e(cossin)xxxI−=−+−,所以1e(cossin)2xIxxC−=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e(cossin)(ee)22kkkkkkkuxx+−−+−=−−+=+;(这里需要注意cosπ(1)kk=−)因此π(1)π1ππ0111eee221ennnknkkkSu−−+−−−==−==+=+−;π(1)πππππ1ee1e11limlim21e21e2e1nnnnS−−+−−−→→−=+=+=+−−−20、已知函数(,)uxy满足222222330uuuuxyxy−++=，求,ab的值，使得在变换(,)(,)eaxbyuxyvxy+=下，上述等式可化为(,)vxy不含一阶偏导数的等式.解:eeaxbyaxbyxuvvax++=+,222eeeeaxbyaxbyaxbyaxbyxxxxuvvavavax++++=+++2e2eeaxbyaxbyaxbyxxxvavav+++=++同理,可得eeaxbyaxbyyuvbvy++=+,222e2eeaxbyaxbyaxbyyyyuvbvbvy+++=++;将所求偏导数代入原方程,有22e[22(43)(34)(2233)]0axbyxxyyxyvvavbvababv+−+++−+−++=,从而430,340ab+=−=,因此33,44ab=−=.21、已知函数(,)fxy在[0,1]上具有二阶导数，且10(0)0,(1)1,()d1fffxx===，证明：（1）存在(0,1)，使得()0f=；（2）存在(0,1)，使得()2f−.证明:(1)由积分中值定理可知,存在(0,1)c,使得10()d(10)()fxxfc=−,即()1fc=.因此()(1)1fcf==,由罗尔定理知存在(,1)((0,1))c,使得()0f=.(2)设2()()Fxfxx=+,则有2(0)0,()1,(1)2FFccF==+=;由拉格朗日中值定理可得:存在1(0,)c,使得21()(0)1()0FcFcFcc−+==−;存在2(,1)c,使得22(1)()1()111FFccFccc−−===+−−;对于函数()Fx,由拉格朗然中值定理同样可得,存在12(,((0,1)),使得22121212111(1)1()()()0ccFFccF++−−−===−−−,即()20f+;结论得证.22.已知向量组（Ⅰ）232111=1=0,=2443a+1ααα，，（Ⅱ）21231011,2,3,313aaa===+−+βββ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a的取值，并将3β用23,,1ααα线性表示.【解析】令123(,,)=Aααα,123(,,)=Bβββ，所以，21a=−A，22(1)a=−B.因向量组I与II等价，故()()(,)rrr==ABAB，对矩阵(,)AB作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111aaaaaaaa=→−++−+−−−