2017全国初中数学联赛

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab的值为（）.A.2B.1C.0D.12-1-c-n-j-y2.已知实数,,abc满足1abc，1110135abc，则222135abc的值为（）.A.125B.120C.100D.813.若正整数,,abc满足abc且2abcabc，则称,,abc为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1【出处：21教育名师】4.已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc的值为（）.A.424B.430C.441D.4605.梯形ABCD中，AD∥BC，3AB，4BC，2CD，1AD，则梯形的面积为（）.A.1023B.1033C.32D.3321*cnjy*com6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，90A，点E在AB上，若42AE，28BE，70BC，45DCE，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62BCADE二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1.使得等式311aa成立的实数a的值为________.2.已知△ABC的三个内角满足100ABC.用表示100,,CCBBA中的最小者，则的最大值为________.3.设,ab是两个互质的正整数，且38abpab为质数.则p的值为________.4.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.21·cn·jy·com第二试一、（本题满分20分）设,AB是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果22AB是完全平方数，求A的值.2·1·c·n·j·y二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分ADB，DF平分ADC，BEDE，CFDF，P为AD与EF的交点.证明：2EFPD.21·世纪*教育网三、（本题满分25分）已知,,abc是不全相等的正整数，且55abbc为有理数，求222abcabc的最小值.PDBCAEF参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知实数,,abc满足213390abc，3972abc，则32bcab的值为（）.A.2B.1C.0D.1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把2ab，3bc看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为223390abbc，32372abbc，解得218ab，318bc，所以312bcab.【版权所有：21教育】2.已知实数,,abc满足1abc，1110135abc，则222135abc的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设1xa，3yb，5zc，则10xyz，1110xyz，0xyxzyz，由22222100xyzxyzxyxzyz.则222135100abc.21教育名师原创作品3.若正整数,,abc满足abc且2abcabc，则称,,abc为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过abc且2abcabc的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.解析：若,,abc为好数组，则26abcabcc，即6ab，显然1a或2.若1a，则21bcbc，即226bc，可得,,1,3,8abc或1,4,5，共2个好数组.若2a，则2b或3，可得2,4bc；53,2bc，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组,,1,3,8,1,4,5,2,2,4abc.4.已知正整数,,abc满足26390abc，260abc，则222abc的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过,ab是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得2293175ab，则23175b，即16b.当1,2,3,4,5b时，均无与之对应的正整数a；当6b时，9a，符合要求，此时18c，代入验证满足原方程.因此，9a，6b，18c，则222441abc.中，AD∥BC，3AB，4BC，2CD，1AD，则梯形的面积为（）.A.1023B.1033C.32D.33答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则3BEBCCEBCADAB，则△ABE是等腰三角形，3BEAB，2AE，经计算可得423AH.所以梯形ABCD的面积为14210214233.21*cnjy*com6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，90A，点E在AB上，若42AE，28BE，70BC，45DCE，则DE的值为（）.A.56B.58C.60D.62答案：B对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt△EAD中去，利用勾股定理求解.解析：作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，将△CDF绕点C逆时针旋转90至△CGB，则ABCF为正方形，可得△ECG≌△ECD，EGED.设DEx，则28DFBGx，98ADx.在Rt△EAD中，有2224298xx，解得58x.21教育网BCADFGEADHBCE二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1.使得等式311aa成立的实数a的值为________.答案：8对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得3211aa.令1xa，则0x，代入整理可得2310xxx，解得1230,3,1xxx，舍负，即1a或8，验证可得8a.【来源：21cnj*y.co*m】2.已知△ABC的三个内角满足100ABC.用表示100,,CCBBA中的最小者，则的最大值为________.答案：20对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.解析：100C，CB，BA131002206CCBBA又当40,60,80ABC时，20可以取到.则的最大值为20.设,ab是两个互质的正整数，且38abpab为质数.则p的值为________.答案：7对应讲次：所属知识点：数论思路：因为p是质数，只能拆成1和p，另一方面通过ab、a、b两两互质来拆分38abab的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为,ab互质，所以ab、a、b两两互质，因为38abab质数，所以318abpab可得1ab，4p，不是质数舍；381abpab可得7a，1b，7p，符合题意.则7p.4.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.答案：34对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为20,*nannN，考虑16,,,14,*kkkiiikikaaakkN，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分20分）设,AB是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果22AB是完全平方数，求A的值.答案：65对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab设为10ab，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.解析：设101,9,,AabababN，则10Bba，由,AB不同得ab，22221010911ABabbaabab.………5分由22AB是完全平方数，则ab，11|abab，可得11ab，………10分ab也是完全平方数，所以1ab或4.………15分若1ab，则6a，5b；若4ab，则没有正整数解.因此6a，5b，65A.………20分【来源：21·世纪·教育·网】二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分ADB，DF平分ADC，BEDE，CFDF，P为AD与EF的交点.证明：2EFPD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF、PD都在△DEF中，所以想办法推出其性质，比较容易得出90EDF，PDBCAEF此时若能得出EPPD，则自然可以得到结论.解析：由DE平分ADB，DF平分ADC，可得90EDF.………5分由BEDE得BE∥DF，则EBDFDC.………10分又BDDC，90BEDDFC，则△BED≌△DFC，BEDF.………15分得四边形BDFE是平行四边形，PEDEDBEDP，EPPD.………20分又△EDF是直角三角形，2EFPD.………25分21世纪教育网版权所有三、（本题满分25分）已知,,abc是不全相等的正整数，且55abbc为有理数，求222abcabc的最小值.答案：3对应讲次：所属知识点：数论思路：通过,,abc是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到50bc，可以通过分母有理化来实现分离，再利用,,abc互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.解析：50bc，由2222255555555abbcabbcbacabbcbcbc是有理数，可得2bac.………10分22222acbabcacbabcacb.………15分不妨设ac，若1a，2cb，因为ab，则113acbbb，取等号当且仅当2b时.………20分若2a，因为1cb，则1243acbabba.所以222abcabc的最小值为3，当1a，2b，4c时.………25分21cnjy.com