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数量关系—数学运算必背资料整理（一）数的整除特性一、数的整除检定除数整除检定性质举例被2/4/8整除特点2若一个数个位能被2整除，则这个数能被2整除2能被2整除→4224若一个数末两位能被4整除，则这个数能被4整除48能被4整除→3488若一个数末三位能被8整除，则这个数能被8整除544能被8整除→2544被3/9整除特点3若一个数的数字和能被3整除，则这个数能被3整除1+5+6=12能被3整除→1569若一个数的数字和能被9整除，则这个数能被9整除6+5+7=18能被9整除→657被5/25整除特点5若一个数个位数能被5整除，则这个数能被5整除0能被5整除→43025若一个数末两位能被25整除，则这个数能被25整除75能被25整除→4375被11整除特点11若一个数奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之差能被11整除，则这个数能被11整除（9+5）-（6+8）=0能被11整除→9658被7/13整除特点7若一个数末三位与前面部分数字之差能被7整除，则这个数能被7整除322-14=308能被7整除→1432213若一个数末三位与前面部分数字之差能被13整除，则这个数能被13整除274-1=273能被13整除→1274二、数的整除性质1．如果两个整数a、b都能被c整除，那么a+b／a-b也能被c整除2．如果两个整数a、b都不能被c整除．那么a与b的和（或差）能或不能被c整除．这是一个不肯定的结论。3．如果整数a能被c整除，ｍ为任意整数，那么am也能被c整除4．如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）．5.如果a能被b整除，a又能被c整除，且b和c互质，那么a能被bc整除三、完全平方数1234567891014916253649648110011121314151617181920121144169196225256289324361400（二）数的约数和倍数（对于求大数之间的最大公约数问题，一般采用辗转相除法）EG：6731÷2809＝2……1113；2809÷1113＝2……583；1113÷583＝1……530；583÷530＝1……53；530÷53＝10所以6731和2809的最大公因数是53（三）同余与剩余问题一、余数性质：1．基本公式：被除数=除数×商+余数2．余数总是小于除数，即0≤d＜b二、同余问题：1．两个整数a、b,若他们除以m所得的余数相同，则称a与b对于m同余，或称a与b同余。EG：23÷5余3；18÷5余3；则23与15同余。2．对于同一个除数m,两个数和（差、积）的余数与余数的和同余。EG:15÷7余1；18÷7余4；则：18+15=33,1+4=5,33÷7的余数与5同余。18-15=3,4-1=3,3÷7的余数与3同余。18×15=270,1×4=4,270÷7的余数与4同余。三、剩余问题：1．同时满足被A整除余X，被B整除余Y……的数可以表示为nk+m，其中k为A、B的最小公倍数，m为同时满足被A整除余X，被B整除余Y……的最小的整数。EG:11被3整除余2，被5整除余1的数字中的最小的数字，则15n+11也一定满足相同条件。（四）自然数n次方尾数变化情况0n的尾数始终是0；1n的尾数始终是1；2n的尾数以“2、4、8、6”循环变化，循环周期是4；3n的尾数以“3、9、7、1”循环变化，循环周期是4；4n的尾数以“4、6”循环变化，循环周期是2；5n、6n尾数不变始终是5、6；7n的尾数以“7、9、3、1”循环变化，循环周期是4；8n的尾数以“8、4、2、6”循环变化，循环周期是4；9n的尾数以“9、1”循环变化，循环周期是2。（五）常用计算技巧一、尾数法：1．两个数的尾数之和等于和的尾数，两个数的尾数之差等于差的尾数，两个数的尾数之积等于积的尾数。2．如果出现了除法，请尽量不要使用尾数法。EG:199+1919+9999的尾数等于9+9+9=27→尾数是7。二、弃九法：1．把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原数的弃九数。2．当尾数法不能使用的时候，可以考虑采用“弃九法”，两个数的弃九数之和等于和的弃九数，两个数的弃九数之差等于差的弃九数，两个数的弃九数之积等于积的弃九数。三、提取公因式法：（六）解不定方程一、利用数的奇偶性解不定方程：奇数+奇数=偶数；偶数+偶数=偶数；奇数+偶数=奇数；奇数×偶数=偶数；奇数×奇数=奇数二、利用数的质合性解不定方程：1既不是质数也不是合数；2是唯一的一个偶质数；20以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19三、利用数的整除性解不定方程：四、利用数的尾数法等技巧解不定方程：（七）计算公式及应用一、基本运算律：加法交换律a+b=b+a;加法结合律（a+b）+c=a+(b+c);乘法交换律a*b=b*a;乘法结合律（a×b）×c=a×（b×c）；乘法分配律a*(b+c)=a*b+a*c；幂次交换律：am×an=an×am=am+n;幂次结合律：(am)n=(an)m=amn;幂次分配律：(a×b)n=an×bn除法同乘法。二、运算公式：完全平方公式：(a士b)2=a2±2ab+b2；平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全立方公式：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；立方和差公式：a3±b3=(a±b)(a2ab+b2)；阶乘：n!=1×2×3×…×n0!=1.三、数列求和：1．等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d；递推公式：an=am+(n-m)d;求和公式：Sn=；对称公式：am+an=ai+aj，其中m+n=i+j;中项求和公式：①当n为奇数时，等差中项为：即;②当n为偶数时，等差中项为：③等差中项：若a、ｂ、c成等差数列，则ａ＋ｃ＝２ｂ→ｂ＝（ａ＋ｃ）／２２．等比数列通项公式：递推公式：求和公式：对称公式：３．平方数列求和公式：４．立方数列求和公式：５．裂项公式（八）几何公式及应用一、必备公式：１．角度公式：ｎ边形内角和＝（ｎ－２）×１８０°２．平面几何公式：三角形正方形长方形圆形梯形平行四边形菱形扇形周长面积备注３．立体几何公式表面积体积长方体正方体球体圆柱体圆锥体二、必备结论：１．平面图形：①周长一定，越趋近于圆，面积越大；②面积一定，越趋近于圆，周长越小。２．立体图形：①表面积一定，越趋近于球，体积越大；体积一定，越趋近于球，表面积越小。３．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；较小的角对应边也较小。（九）容斥问题１．当题目中出现两个集合时：A∪B=A+B-A∩B２．当题目中出现三个集合时：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C３．利用公式法与图示法（十）抽屉原理１．数学运算提干中要求“至少和保证。。。”的一些题目们可以应用该原理解决。２．将多于ｎ件的物品任意放到ｎ个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于２件。３．将多于ｍ×ｎ件的物品任意放到ｎ个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于（ｍ＋１）件。（十一）平均数问题一、公式：１．算术平均数：２．几何平均数：３．加权平均数：二、十字交叉法：找出各部分平均值及总体的平均值；平均值间交叉作差，写出部分对应量或对应量的比，得到十字竖式；利用比例关系解答；两部分混合，第一部分平均值为ａ，第二部分平均值为ｂ（假设ａ＞ｂ），混合后的平均值为ｒ，利用十字交叉法有：（十二）和差倍比问题一、基本概念：1．和倍关系：已知两个及两个以上的数之和与他们之间的倍数关系，求这两个数或这些数各是多少的问题，称为和倍问题。2．差倍关系：已知两个数的差及其倍数关系，求这两个数各是多少的问题，称为差倍问题。二、基本公式：1．和倍关系：和÷（倍数+1）=1倍量，1倍量×倍数=几倍量；2．差倍关系：差÷（倍数-1）=1倍量，1倍量×倍数=几倍量；（十三）浓度问题1．浓度问题的基本公式：浓度=溶液溶质=溶剂溶质溶质=溶液溶剂溶液2．浓度问题中的蒸发情况：“溶质”量是不会因为蒸发而增多或减少的，“蒸发”时，浓度的变化只与溶剂的变化有关。3.一种高浓度的溶液A和一种低浓度的溶液C混合成一种溶液B，那么溶液B的浓度肯定介于溶液A的浓度和溶液C的浓度之间。4.解答溶液的多次混合问题时，要把握好混合的先后顺序：设原溶液为M毫升，每次操作先倒出N毫升溶液，再倒入N毫升清水，反复操作n次时，新溶液浓度=原溶液浓度×（MNM）n；设原溶液为M毫升，每次操作先倒入N毫升清水，再倒出N毫升溶液，反复操作n次时，新溶液浓度=原溶液浓度×（NMM）n。5．解题多用十字交叉法。（十四）日期问题一、闰年判定：1．非100的倍数的年份，能被4整除的是闰年（如2008年）2．是100的倍数的年份，能被400整除的是闰年（如2000年，1900年不是闰年）3．特例：能被400整除的年份中3200年不是闰年二、掌握日期与星期数的关系1.相邻相同“星期数”时，日期的奇偶交替变化：同一月份中，若星期N的日期数为奇数，则与之相邻的星期N必为偶数；与之对应的，若星期N的日期数为偶数，则与之相邻的星期N必为奇数。2.有关M天后是星期几问题：（M+今天的星期数）÷7，余数余几，星期数的增长数即为几。三、掌握年份与周数的关系1．平年共有52周余一天，闰年有52周余两天。2．若N年时，某天的星期数为A，那么M年的同一天星期数为A+(M-N+X)。（X为N年与M年间闰年的个数）四、掌握日期与周数的关系1．一个小月（30天）由四周零2天组成。也就是说星期N在一个月中至少出现四次，至多出现五次。要使星期N在一个月中出现五次，须使该月的开头2天含星期N。2．一个大月（31天）由四周零3天组成。也就是说星期N在一个月中至少出现四次，至多出现五次。要使星期N在一个月中出现五次，须使该月的开头3天含星期N。（十五）年龄问题1、N个人的年龄一定“同增同减”。也就是说，当一人年龄发生变化时，其余人年龄也发生同样的变化。2、无论年份如何变化，N个人的年龄差永远不变。在通常情况下，年龄问题中，一定存在一个恒定值，即年龄差。抓住年龄差这个不变值，往往就抓住了解答年龄问题的突破口。3、要注意年龄的科学性。如人寿命的长短，父子、爷孙年龄差值的科学性等。这些条件往往隐含在题目之中，成为解答年龄问题时必不可少的条件使用，同时，年龄的科学性也可以作为验算的重要手段，辅助我们正确解答年龄问题。4、要注意年龄问题与其他数字特性间的联系，两人年龄间的倍数关系，随着时间的推移，倍数越来越小。当A的年龄B的年龄时，M年后，A年龄为A+M，B年龄为B+M，此时必有AMABMB。此种性质实际上是年龄问题与自然数倍数性质的结合，通过此法可以快速判定年龄间倍数关系的变化规律。（十六）方阵问题一、实心方阵：总人数=最外层每边人数的平方二、空心方阵：方阵相邻两层相差8人，因此总人数可以看成首项为最外层总人数，公差为-8的等差数列之和，每层总人数=该层每边数×4-4（十七）鸡兔同笼问题设鸡求兔，兔头数=（总足数-2×总头数）÷2；鸡头数=总头数-兔头数。（十八）行程问题一、常规的行程问题：1．路程=速度×时间；平均速度=总路程÷总时间2．行程问题中，路程往往是不变量，速度变化导致时间变化。3．当行程问题中引入“平均速度”的概念时，一定牢记，平均速度=分段路程和÷分段时间和，切忌认为平均速度就是速度的简单平均。在去程速度为V1回程速度为V2的往返运动中，往返的平均速度=2V1V2/(V1+V2)。4．题目中出现数电线杆、数大树、数台阶问题时，当数了N个定点时，N个定点间只有N-1段距离。二、相遇问题：1.相遇问题的基本公式是：相遇路程=（A速度+B速度）×相遇时间；相遇时间=相遇路程÷速度和。2.在通常情况下，相遇问题中的相遇时间是相等的。3.如果题目中某方先出发，注意把他先行的路程去掉，剩下的部分依然是相遇问题。4.环形路上的相遇问题，两者若同时同地反向出发，则相遇距离一定为环形路的全长。若两者第一次相遇时距中点M米，则两者在第二次相遇时相距2