求数列通项公式的十种方法

1．观察法（求出a1、a2、a3，然后找规律）即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。例1.设11a，)(2221Nnbaaannn，若1b，求32,aa及数列}{na的通项公式．解：由题意可知：11111a，11221221212aaa，113121222223aaa.因此猜想11nan.下面用数学归纳法证明上式．（1）当n＝1时，结论显然成立．（2）假设当n＝k时结论成立，即11kak.(3)则11)1(11)1(11)1(122221kkaaaakkkk，即当n＝k＋1时结论也成立．由（1）、（2）可知，对于一切正整数n，都有)(11Nnnan．（最后一句总结很重要）2．定义法（已知数列为等差或者等比）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。例2.已知等差数列na满足1210aa，432aa，求na的通项公式。解：设等差数列na的公差为d.因为432aa，所以2d.又因为1210aa，所以1210ad，故14a.所以42(1)22nann(1,2,)n.3．公式法若已知数列的前n项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。（一定要讨论n=1，n≥2）例3.设数列{}na的前n项和为nS，已知233.nnS（Ⅰ）求数列{}na的通项公式。解：（Ⅰ）由233nnS可得：当1n时，111(33)32aS，当2n时，11111(33)(33)3(2)22nnnnnnaSSn而11133a，所以13,1,3,1.nnnan4．累加法当递推公式为)(1nfaann时，通常解法是把原递推公式转化为。例4.数列}{na满足11a，且11naann（*Nn），则数列{𝑎𝑛}的前10项和为解：由题意得：112211)()()(aaaaaaaannnnn12)1(nn2)1(nn5．累乘法当递推公式为)(1nfaann时，通常解法是把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。nsnanana1()nnaafn例5.已知数列满足，求的通项公式。解：由条件知，在上式中分别令)1(,,3,2,1nn，得1n个等式累乘之，即nnaaaaaaaann14332211342312，即naan11又321anan326.构造法（拼凑法）-共5种题型，第2、3种方法不必掌握1、当递推公式为qpaann1（其中qp,均为常数，且0)1(ppq）时，通常解法是把原递推公式转化为)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例题：已知数列}{na满足13,111nnaaa，求}{na的通项公式。解：由131nnaa得)21(3211nnaa又23211a所以}21{na是首项为23，公比为3的等比数列所以23323211nnna因此数列}{na的通项公式为213nna.2、当递推公式为)0,,(1pkbkpbknpaann均为常数，且其中时，通常解法是把原递推公式转化为)()1(1yxnapynxann，其中yx,的值由方程byxpykxpx给出。（了解即可，不必掌握）na112,31nnnaaanna11nnanan例题：在数列}{na中，=2，=，求数列}{na的通项。解：由1341naann得)(4)1(1nanann又111a所以数列}{nan是首项为1，公比为4的等比数列所以14nnna，即nann14.3、当递推公式为nnncpaa1（其中cp,均为常数，且0pc）时，通常解法是把原递推公式转化为ccacpcannnn111。①若cp，则ccacannnn111，此时数列}{nnca是以ca1为首项，以c1为公差的等差数列，则cncacann1)1(1，即11)1(nncana。②若cp，则可化为)1)((11pcttcacptcannnn其中形式求解。（了解即可，不必掌握）例题：已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。解：由nnnaa321得)3(2311nnnnaa所以数列是首项为=，2q的等比数列所以=，即=4、当递推公式为（sqp,,为常数，且0pqs）时，通常两边同时取倒数，把原递推公式转化为pqpasann11。①若sp，则}1{na是以11a为首项，以pq为公差的等差数列，则pqnaan)1(111，即11)1(panqapan。②若sp，则可转化为1a1na431nannana1a1na23nna{3}nna113a23nna122nna32nn1nnnpaaqas)1(11tapstann（其中spqt）形式求解。例10.已知数列{}满足，且（），求数列{}的通项公式。解：原式可变形为两边同除以3得……⑴构造新数列，使其成为公比q的等比数列即整理得满足⑴式使∴∴数列是首项为，q=的等比数列∴∴。5、当递推公式为pq（qp,均为常数）（又称二阶递归）时，将原递推公式pq转化为-＝（-）.其中、由解出，由此可得到数列｛-｝是等比数列。例题：设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．证明：为等比数列；证明：因为)2(854112nSSSSnnnn所以)2(44441112nSSSSSSnnnnnnna132a11321nnnnaaan2nnNna112(1)3nnnnaanana1nnaa111233nnnnaa{}nna13111()3nnnnaa11233nnnnaa22331{1}nna11113a1311111()()333nnnna331nnnna2na1nana2na1nana2na1na1nanapq1nana即)2(4412naaannn因为21344aaa所以1244nnnaaa因为21)2(2224242424212111111112112nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa所以数列}21{1nnaa是以12112aa为首项，以21为公比的等比数列。