初中数学经典几何题及答案

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第1页共14页4edc经典难题(一)1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.求证:CD=GF.(初二)2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150.求证:△PBC是正三角形.(初二)3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点.求证:四边形A2B2C2D2是正方形.(初二)4、已知:如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.求证:∠DEN=∠F.APCDBAFGCEBODD2C2B2A2D1C1B1CBDAA1ANFECDMB第2页共14页PCGFBQADE经典难题(二)1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O为外心,且OM⊥BC于M.(1)求证:AH=2OM;(2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.(初二)2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.求证:AP=AQ.(初二)3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q.求证:AP=AQ.(初二)4、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.求证:点P到边AB的距离等于AB的一半.(初二)经典难题(三)1、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,AE=AC,AE与CD相交于F.求证:CE=CF.(初二)·ADHEMCBO·GAODBECQPNM·OQPBDECNM·AAFDECB第3页共14页2、如图,四边形ABCD为正方形,DE∥AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F.求证:AE=AF.(初二)3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点,PF⊥AP,CF平分∠DCE.求证:PA=PF.(初二)4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D.求证:AB=DC,BC=AD.(初三)经典难题(四)1、已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求:∠APB的度数.(初二)2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.求证:∠PAB=∠PCB.(初二)3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三)DEDACBFFEPCBAODBFAECPAPCBPADCBCBDA第4页共14页4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且AE=CF.求证:∠DPA=∠DPC.(初二)经典难题(五)1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证:≤L<2.2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=800,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=300,∠EBA=200,求∠BED的度数.FPDECBAAPCBACBPDEDCBAACBPD第5页共14页经典难题(一)1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO,所以CD=GF得证。2.如下图做△DGC使与△ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG=150所以∠DCP=300,从而得出△PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,由A2E=12A1B1=12B1C1=FB2,EB2=12AB=12BC=FC1,又∠GFQ+∠Q=900和∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2,可得△B2FC2≌△A2EB2,所以A2B2=B2C2,又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,从而可得∠A2B2C2=900,同理可得其他边垂直且相等,第6页共14页从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。经典难题(二)1.(1)延长AD到F连BF,做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD,可得BH=BF,从而可得HD=DF,又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接OB,OC,既得∠BOC=1200,从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。第7页共14页3.作OF⊥CD,OG⊥BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG====,由此可得△ADF≌△ABG,从而可得∠AFC=∠AGE。又因为PFOA与QGOA四点共圆,可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ,∠AOP=∠AOQ,从而可得AP=AQ。4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FH。可得PQ=2EGFH+。由△EGA≌△AIC,可得EG=AI,由△BFH≌△CBI,可得FH=BI。从而可得PQ=2AIBI+=2AB,从而得证。第8页共14页经典难题(三)1.顺时针旋转△ADE,到△ABG,连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC,可得△AGC为等边三角形。∠AGB=300,既得∠EAC=300,从而可得∠AEC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证:CE=CF。2.连接BD作CH⊥DE,可得四边形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH,可得∠CEH=300,所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150,第9页共14页又∠FAE=900+450+150=1500,从而可知道∠F=150,从而得出AE=AF。3.作FG⊥CD,FE⊥BE,可以得出GFEC为正方形。令AB=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。tan∠BAP=tan∠EPF=XY=ZYXZ-+,可得YZ=XY-X2+XZ,即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出△ABP≌△PEF,得到PA=PF,得证。第10页共14页经典难题(四)1.顺时针旋转△ABP600,连接PQ,则△PBQ是正三角形。可得△PQC是直角三角形。所以∠APB=1500。2.作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE∥DC,BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP,可得:AEBP共圆(一边所对两角相等)。可得∠BAP=∠BEP=∠BCP,得证。3.在BD取一点E,使∠BCE=∠ACD,既得△BEC∽△ADC,可得:BEBC=ADAC,即AD•BC=BE•AC,①又∠ACB=∠DCE,可得△ABC∽△DEC,既得ABAC=DEDC,即AB•CD=DE•AC,②由①+②可得:AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)=AC·BD,得证。第11页共14页4.过D作AQ⊥AE,AG⊥CF,由ADES=2ABCDS=DFCS,可得:2AEPQ=2AEPQ,由AE=FC。可得DQ=DG,可得∠DPA=∠DPC(角平分线逆定理)。经典难题(五)1.(1)顺时针旋转△BPC600,可得△PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,即如下图:可得最小L=;第12页共14页(2)过P点作BC的平行线交AB,AC与点D,F。由于∠APD∠ATP=∠ADP,推出ADAP①又BP+DPBP②和PF+FCPC③又DF=AF④由①②③④可得:最大L2;由(1)和(2)既得:≤L<2。2.顺时针旋转△BPC600,可得△PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上,即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF。第13页共14页既得AF=213(1)42++=23+=4232+=2(31)2+=2(31)2+=622+。3.顺时针旋转△ABP900,可得如下图:既得正方形边长L=2222(2)()22a++=522a+。第14页共14页4.在AB上找一点F,使∠BCF=600,连接EF,DG,既得△BGC为等边三角形,可得∠DCF=100,∠FCE=200,推出△ABE≌△ACF,得到BE=CF,FG=GE。推出:△FGE为等边三角形,可得∠AFE=800,既得:∠DFG=400①又BD=BC=BG,既得∠BGD=800,既得∠DGF=400②推得:DF=DG,得到:△DFE≌△DGE,从而推得:∠FED=∠BED=300。

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