初三数学几何综合题及答案

1EDMBCAEDMBCAMBCA1.在△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME（1）如图1所示，若AB=AC，则MD和ME的数量关系是（2）如图2所示，若AB≠AC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧．．作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，请在图3中补全图形，并直接判断△MED的形状．（1）MD=ME．解：∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD=CE，AD=AE，∵M是BC的中点，∴BM=CM．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，即∠DBM=∠ECM．在△DBM和△ECM中，，∴△DBM≌△ECM（SAS），∴MD=ME．（2）如图，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又∵M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．∴，，MF∥AC，MG∥AB．图1图2图32∴∠BFM=∠BAC，∠MGC=∠BAC．∴∠BFM=∠MGC．所以∠DFM=∠MGE．∵DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，∴，．∴MF=EG，DF=MG．在△DFM与△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS）．∴DM=ME．∠FMD=∠GEM∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME∵EG⊥AC∴∠EGC=90°∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=180°∴∠DME=90°∴DM⊥EM．（3）如图所示：△MDE是等腰直角三角形．2．如图1，在ABC△中，90ACB°，2BC，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．（1）线段BE与AF的位置关系是________，AFBE________．（2）如图2，当CEF△绕点C顺时针旋转时（0180），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当CEF△绕点C顺时针旋转时（0180），延长FC交AB于点D，如果623AD，求旋转角的度数．DαFECBA图3图2αFECBAFECBA图13图2图1EDCBAABCPFEDABC（1）如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直；∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴AC=2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，∴=；故答案为：互相垂直；；（2）（1）中结论仍然成立．证明：如图2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，∴EC=BC，FC=AC，∴==，∵∠BCE=∠ACF=α，∴△BEC∽△AFC，∴===，∴∠1=∠2，延长BE交AC于点O，交AF于点M∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2∴∠BCO=∠AMO=90°∴BE⊥AF；（3）如图3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°∴AB=4，∠B=60°过点D作DH⊥BC于H∴DB=4﹣（6﹣2）=2﹣2，∴BH=﹣1，DH=3﹣，又∵CH=2﹣（﹣1）=3﹣，∴CH=DH，∴∠HCD=45°，∴∠DCA=45°，∴α=180°﹣45°=135°．3.（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC上一点，且CE=AB，BE=CD，连结AE、DE、AD，则△ADE的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABCA中，，D、E分别为AB、AC上的点，连结BE、CD，两线交于点P．①当BD=AC，CE=AD时，在图中补全图形，猜想BPD的度数并给予证明．②当3BDCEACAD时，BPD的度数____________________．（1）等腰直角三角形-------------------------------------------------------------------------------1分（2）45°.-------------------------------------------------------------------------------------------2分证明：过B点作FB⊥AB,且FB=AD.∴90FBDA,∵BD=AC，∴△FBD≌△DAC.∴∠FDB=∠DCA，ED=DC∵∠DCA+∠CDA=90，∴∠FDB+∠CDA=90，∴∠CDF=90，∴∠FCD=∠CFD=45．∵AD=CE，∴BF=CE4图1FEDCBA∵90FBDA，∴180FBDA.∴BF∥EC.∴四边形BECF是平行四边形．∴BE∥FC.∴45BPDFCD.-----------------------------------------------------------------------6分（3）60．--------------------------------------------------------------------------------------7分4．在△ABC中，ABAC，A0，将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD，再将线段BD平移到EF，使点E在AB上，点F在AC上．（1）如图1，直接写出ABD和CFE的度数；（2）在图1中证明：ECF；（3）如图2，连接CE，判断△CEF的形状并加以证明．1）ABD=15°，CFE=45°．………………………………………2分（2）证明：连结CD、DF．∵线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD，∴BDBC，CBD0．∴△BCD是等边三角形．∴CDBD．∵线段BD平移到EF，∴EF∥BD，EFBD．∴四边形BDFE是平行四边形，EFCD．………3分∵ABAC，A0，∴ABCACB．∴ABDABCCBDACD．∴DFEABD，AEFABD．∴AEFACD．…………………………………………………4分∵CFEA+AEF，∴CFDCFEDFE．∴ACFD．……………………………………………………5分图2图1ABCDEFFEDCBA5G图2ABCDEF∴△AEF≌△FCD（AAS）．∴ECF．……………………………………………………………6分（3）解：△CEF是等腰直角三角形．证明：过点E作EG⊥CF于G，∵CFE，∴FEG．∴EGFG．∵A0，AGE，∴12EGAE．∵ECF，∴12EGCF．∴12FGCF．∴G为CF的中点．∴EG为CF的垂直平分线．∴EFEC．∴CEFFEG=9．∴△CEF是等腰直角三角形．…………………………………………8分5．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，DE的延长线与BC相交于点F，连接AF．（1）如图1，若BAC==60，BFDF2，请直接写出AF与BF的数量关系；（2）如图2，若BAC＜=60，BFDF3，猜想线段AF与BF的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若BAC＜，mBFDF（m为常数），请直接写出BFAF的值（用含、m的式子表示）．解：解：（1）AF=BF．理由如下：在DF上截取DG=BF，连接AG，（如图1），由旋转得AD=AB，∠D=∠B，图1图1图1图2图3ABCDEFFEDCBAFEDCBA6在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°．∴△GAF是等边三角形，又∵DF=2BF，∴AF=GF=DF﹣DG=DF﹣BF=BF，即AF=BF；（2）解：猜想：AF=2BF．证明：在DF上截取DG=BF，连接AG（如图2）．由旋转得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°，∴△GAF是等边三角形，又∵DF=3BF，∴AF=GF=DF﹣DG=DF﹣BF=2BF，即AF=2BF；（3）在DF上截取DG=BF，连接AG，（如图3），由旋转得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=α，∴△GAF是等腰三角形，∵DF=mBF，∴GF=DF﹣DG=mBF﹣BF=（m﹣1）BF，过点A作AH⊥DF于H，则FH=GF=（m﹣1）BF，∠FAH=∠GAF=α，∵sin∠FAH=，∴sin=，∴=．6．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．（1）如图l，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝12∠BAF，AF＝23AD，请你判断线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．GFCBDAENGFCDBAEM图1图27证明：（1）如图1，连接FE、FC∵点F在线段EC的垂直平分线上∴FE=FC∴∠FEC=∠FCE∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C）∴AB=CB，∠ABD=∠CBD∵在△ABF与△CBF中AB＝CB∠ABD＝∠CBDBF＝BF∴△ABF≌△CBF（SAS）∴∠BAF=∠FCE，FA=FC[来源:Z+xx+k.Com]∴FE=FA，∠FEC=∠BAF∴∠EAF=∠AEF[来源:学§科§网Z§X§X§K]∵∠FEC+∠BEF=180°∴∠BAF+∠BEF=180°∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°∴∠AFE+∠ABE=∠AFE+∠ABD+∠CBD=180°又∵∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°∴∠EAF+∠AEF=∠ABD+∠CBD∵∠ABD＝∠CBD,∠EAF=∠AEF∴∠EAF=∠ABD（2）FM=72FN证明：由(1)可知∠EAF=∠ABD又∵∠AFB=∠GFA∴△AFG∽△BFA∴∠AGF=∠BAF又∵∠MBF=12∠BAF．∴∠MBF=12∠AGF又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG∴BG=MG∵AB=AD∴∠ADB=∠ABD=∠EAF又∵∠FGA=∠AGD∴△AGF∽△DGAGFAGAFAGGDAD∵AF=23AD23GFAGAGGD设GF=2aAG=3a．∴GD=92a∴FD=52a∵∠CBD=∠ABD∠ABD=∠ADB∴∠CBD=∠ADB∴BE//AD∴BGEGGDAG23EGAGBGGD设EG=2k∴BG=MG=3k过点F作FQ//ED交AE于QGFCBDAENGFCDBAEM8EQPDCBA∴54252aaFDGFQEGQ∴QEGQ54∴GQ=49EG=89k，MQ=3k+89k=359k∵FQ//ED72MFMQFNQE∴FM=72FN7．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥A