圆周角定理

圆周角踢足球射门的“学问”足球场上有句顺口溜：”冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好．”可见踢足球是有“学问”的，以下我们将来学些几何知识来分析类似足球射门的问题。复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫圆心角。考考你：你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB这样的角下个定义吗？顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？重点观察下面三个图形中,圆心与圆周角的位置关系?在以上三个图形中,哪个图形是特殊的,其它图形可以转化为特殊图形吗?圆心角和圆周角都是和圆有关的角,圆心角的度数等于它所对弧的度数。如果圆心角和圆周角所对的弧相同,那么1、圆周角的度数与它所对弧的度数有什么关系呢?2、圆周角与圆心角之间又有什么关系呢?同学们可以大胆地说出你的猜想？为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会:（1）在圆周角的一条边上；·COAB同弧所对圆周角与圆心角的关系BOCA21即∵OA=OC，∴∠A=∠C．又∠BOC=∠A+∠C∴∠BOC=2∠A（2）在圆周角的内部．圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的结果，有12BADBOD12DACDOC1()2BADDACBODDOC12BACBOC·COABD（3）在圆周角的外部．12BADBOD12DACDOC1()2DACDABDOCDOB12BACBOC圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有·COABD·ABC1OC2C3定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．定理半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．推论1、求圆中的角x的度数？=?2、如图7-32，已知△ABC内接于⊙O，，的度数分别为80°和110°，则△ABC的三个内角度数分别是多少度？答：△ABC的三内角分别是∠A＝55°，∠B＝85°，∠C＝40°3、试比较图中∠E、∠ACB、∠D大小。例1在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是尽力向球门AB冲近(如图1)，你说为什么解:设球员在位于C处接到球，他带球尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近了，射门更为有力，而且对球门AB的张角也扩大了，球更容易射中.可以证明如下：延长CD到E，则∠ADE＞∠ACE，∠BDE＞∠BCE，所以∠ADE+∠BDE＞∠ACE+∠BCE，即∠ADB＞∠ACB．这样，更容易射门得分．2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB练习在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．例如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．86102222ACABBC又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，221052(cm)22ADBDAB解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴AD=BD..ACDBCD例题OABCD3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）·ABCO求证：△ABC为直角三角形.证明：CO=AB,12以AB为直径作⊙O，∵AO=BO，∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,∴∠ACB=×180°=90°.12已知：△ABC中，CO为AB边上的中线，12且CO=AB∴△ABC为直角三角形.练习习题1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∠ACB=∠AOB12∠BAC=∠BOC2∠AOB=2∠BOCAOBC∠ACB=2∠BAC1规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理分析:AB所对圆周角是∠ACB,圆心角是∠AOB.则∠ACB=∠AOB.BC所对圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC,则∠BAC=∠BOC⌒⌒21___21___小结与作业1、本节课我们学习了哪些知识？2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？