AHP选址计算法

2019/10/71层次分析法2010年上学期2019/10/72基本内容一、层次分析的基本情况介绍二、层次分析法的思想与原理三、层次分析法的步骤及计算方法四、层次分析法的应用举例2019/10/73层次分析法(AnalyticalHierarchyProcess,简称AHP方法)是由美国匹兹堡大学运筹学家A.L.Saaty于本世纪70年代中期出.其基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素,并将这些因素按支配关系分组,从而形成一个有序的递阶层次结构.通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性,然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序.层次分析法是一种定性与定量相结合的决策分析方法.它是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程,它可以帮助决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来极大方便.一、层次分析法的基本情况2019/10/74二、层次分析法的基本原理1、基本原理假设有n个物体A1,A2,…,An,记们的重量分别为w1,w2,…,wn.现将每个物体的重量两两进行比较如下:wn/wn…wn/w2wn/w1An……….…w2/wn…w2/w2w2/w1A2w1/wn…w1/w2w1/w1A1An…A2A12019/10/75若以矩阵表示各物体的这种相互重量关系,即nnnnnn称为判断矩阵.若取重量向量W=(w1,w2,…,wn)T,则有AW=nW上式说明,W是判断矩阵A的特征向量,n是A的一个特征值.而实际上,可以证明n是矩阵A的唯一非0的,也是最大的特征值,W为其所对应的特征向量.2019/10/76上述事实说明,如果一组物体需要知道它们的重量,而又没有衡器,则可以通过两两比较它们的相互重量,得出每对物体重量比的判断,从而构成判断矩阵;然后通过求解判断矩阵的最大特征值lmax和它对应的特征向量,就可以得出这一组物体的相对重量.根据这一思想,我们可以对一些无法测量的因素,只要引入合理的标度,则可以用上述方法度量各因素之间的相对重要性,从而为有关决策提供依据.扩展AHP方法的基本思想就是决策者对n个元素优劣的整体判断转变为对这n个元素的两两比较,然后再转为对这n个元素的整体优劣排序判断及确定各元素的权重.2019/10/77三、层次分析法的步骤AHP方法的基本步骤总体来说包括:(1)根据问题的性质和总目的,将问题分解成不同的组成因素,并按它们间的相互联系及隶属关系划分成不同层次组合,构成一个多层次的系统分析结构模型;(2)对每一层次各元素(或因素)的相对重要性作出判断;(3)通过各层次因素的间排序与逐层的总排序,最终计算出最低层诸元素相对于最高层的重要权值,从而确定诸方案的优劣排序.2019/10/78AHP方法的具体步骤:(1)建立层次结构模型将问题所包含的因素分层,用层次框图描述层次的递阶结构和因素的从属关系.通常可划分为:最高层、中间层和最低层.最高层－要解决的目标;中间层－为实现总目标而采取的策略、准则等.又可分为策略层、约束层和准则层等.最低层－用于解决问题的措施、方案、政策、指标等.当上一层次的元素与下一层次的所有元素都有联系时称为完全的层次关系;当只与下层的部分元素有联系,此时称为不完全层次关系.2019/10/79建筑企业选择投标项目的层次结构模型A:总目标B1:提高市场占有率B2:承包工程项目的可行性B3:经济收益C1社会信誉C2对技术的促进C3发挥优势C4施工难易程度C5施工工期C6经济效益C61成本C61利润D1:工程项目1D2:工程项目2Dn:工程项目n合理选择投标项目,以得到更大发展目标层准则层指标层项目层2019/10/710(2)构造判断矩阵AHP法要求逐层计算有关相互联系的元素间影响的相对重要性,并予以量化,组成判断矩阵,作为分析的基础.现设上一层次中的元素Ak与下层n个元素B1,B2,…,Bn有关,记Bi对Bj的相对重要性的全部比较结果如下矩阵B,即bnn…bn2bn1Bn…bij……b2n…b22b21B2b1n…b12b11B1Bn…B2B1Ak称为Ak的影响元素的判断矩阵.2019/10/711Bi/Bj相等稍微重要明显重要强烈重要极端重要bij13579Saaty标度表若判断成对事物的差别介于两者之间,则bij值可取2,4,6,8.而倒数则是两对比项颠倒比较的结果.判断矩阵中的元素具有如下的性质:1)3;/1)2;0b)1ijiijiijbbb为了用数值来表示相对重要性程度,可以采用比例标度法.常用的为Saaty提出的标度方法.Saaty认为人们估计成对事物的差别时,用5种判断就能很好表示.标度表如下:2019/10/712B是一个n阶矩阵,仅需要给出n(n-1)/2个元素的数值.判断矩阵中的数值可以根据数据资料、专家评价和决策者本人的认识加以综合平衡后给出的.衡量判断矩阵适当与否的标准矩阵中判断是否具有一致性,当判断矩阵满足:bij=bik/bjki,j,k=1,2,…,n时则称具有完全一致性.此时,判断矩阵B中任一行(或列)均为任意指定行(或列)的正数倍数.通常1,2阶判断矩阵问题可以具有完全一致性,对于高阶矩阵则应该结合排序步骤,进行一致性检验,如不满足,应予以修改.2019/10/713(3)层次单排序及一致性检验层次排序是指根据上一层Ak的判断矩阵B,计算本层与之有联系的各元素B1,B2,…,Bn间相对重要性的排序权值.可以归结为计算判断矩阵的特征值和特征向量的问题,即计算满足:BW=lW的lmax与相应的W.具有上述性质1)2)3)的矩阵称为正互反矩阵.可以证明:n阶正互反矩阵存在正实数的最大特征值lmax,且它是单根,lmax=n.同时所对应的特征向量的分量均为正数.若判断矩阵具有完全一致性,则有lmax=n.其余特征根为0,此时对应于lmax的标准化特征向量W,其相应的分量(如wi)即为对应元素(Bi)的单排序的权值.2019/10/714但对于因素多,规模大的问题,由于事物的复杂性与人们认识的片面性,构造的判断矩阵不一定能具有完全一致性.若判断矩阵不具有一致性,记为B’,则由特征方程B’W=lW求得的最大特征根l’maxn,l’max比n在得越多,则B’的不一致性程度就越严重.此时与l’max对应的特征向量W’就不能真实反映本层元素B1,B2,…,Bn与上层因素Ak中所占的影响比重.通常可用一致性指标CI(ConsistencyIndex)来衡量判断矩阵的不一致性程度.1maxnnCIl显然,当判断矩阵具有完全一致性时,CI=0.2019/10/715如果CI0,此时可以放松要求,只要求判断矩阵的最大特征值稍大于n,且其余特征根接近于0,这时称该判断矩阵具有满意的一致性.Saaty建议用平均随机一致性指标RI来检验判断矩阵是否具有满意一致性.平均随机一致性指标RI是多次重复进行随机矩阵循环值的计算后,取算术平均数得到的.下面是Saaty给出的1－15阶矩阵重复1000次的平均随机一致性指标值.阶数123456789101112131415RI000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.592019/10/716计算随机一致性比(ConsistencyRatio)(同阶相比)CR=CI/RI当CR0.10时,认为判断矩阵具有满意一致性,否则就必须重新调整判断矩阵,直到具有满意一致性,这是计算出的最大特征值所对应的特征向量,经标准化后,才可以作为层次单排序的权值.2019/10/717(4)层次总排序及一致性检验计算同一层所有元素对于最高层(目标层)相对重要性的排序权值,称为层次总排序.这一计算需要从上到下,逐层顺序1进行.对于紧接最高层下的那一层(第二层),其层次单排序即为总排序.现假设进行到A层,它包含有m个因素A1,A2,…,Am,得到的层次总排序权值分别abrt为a1,a2,…,am,其下一层次B包含n个元素B1,B2,…,Bn,它对于Aj的层次单排序权值已知.这里如果Bi与Aj无联系,则=0.这样B层元素的总排序权值可按如下表求得.jnjjbbb,...,,21jib2019/10/718层次A层次BA1a1A2a2…AmamB层次总排序权值B1…B2………………Bn…mjjnjb1a1nb2nbmnbjibmjjjb11amjjjb12a11b21b12bmb2mb122b显然有111nimjjijba2019/10/719层次总排序也要进行一致性检验.检验是从高层到低层进行.设与A层中因素Aj(j=1,2,…,m),对应的B层次中的判断矩阵的一致性指标为CIj;平均随机一致性指标为Rij,则B层次总排序随机一致性比率为mjjjmjjjRICICR11aa当CR=0.1时,认为该层次总排序的结果具有满意的一致性,否则需对B的各判断矩阵进行调整,再进行分析.2019/10/720四、层次分析法实例某单位拟从三名干部中提拔一人担任领导工作,干部的优劣(由上级人事部门提出),用六个属性来衡量:健康状况、业务知识、写作水平、口才、政策水平、工作作风,分别用p1、p2、p3、p4、p5、p6来表示.2019/10/721提拔一位干部担任领导工作健康状况业务水平写作水平口才政策水平工作作风甲乙丙w1w2w3w4w5w6总目标方案层子目标2019/10/722Bp1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311判断矩阵判断矩阵如下B.2019/10/723组织部门给三个人,甲、乙、丙对每个目标层性打分.B1甲乙丙甲11/41/2乙413丙21/31健康状况p1B2甲乙丙甲11/41/5乙411/2丙521业务水平p22019/10/724B3甲乙丙甲131/5乙1/311丙511写作水平p3B4甲乙丙甲11/35乙317丙1/51/71p4口才2019/10/725B5甲乙丙甲117乙117丙1/71/71政策水平p5B6甲乙丙甲179乙1/715丙1/91/51工作作风p62019/10/726提拔一位干部担任领导工作健康状况业务水平写作水平口才政策水平工作作风甲乙丙w1w2w3w4w5w6总目标方案层子目标解:1画出层次分析图2019/10/727Bp1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311判断矩阵2求出目标层的权数估计用和积法计算其最大特征向量2019/10/728和积法具体计算步骤：(1)将判断矩阵B按列规格化,即2,...,2,11nni,jbbbnkkjijij2019/10/729Bp1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p62223116.255.756.53207.333.832019/10/730Bp1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30.160.090.150.250.420.13p40.040.040.030.050.050.09p50.160.170.050.150.140.26p60.320.340.300.150.140.266.255.756.53207.333.832019/10/731(2)对矩阵B’,按行相加,得nibwnjiji,...,2,11Bp1p2p3p4p5p6p10.160.170.150.200.140.13p20.160.170.300.200.140.13p30