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1奥运会临时超市网点设计的数学模型摘要本文针对题目要求，分统计问卷，测算人流量分布，网点设计三个步骤逐步进行，在满足三个基本要求的基础上，构建出了以两种超市个数为变量的整数规划模型，基本上解决了北京奥运会临时超市网点设计问题。在步骤一里，我们通过SPSS分析软件对调查问卷进行了统计分析，得出观众在出行和餐饮方式上的偏好规律如下：步骤二中，我们通过floyd算法，并结合步骤一中得到的数据，我们最终测算出20个商区的人流量分布：C1C2C3C4B1B2B3B4B5B62.32%2.96%2.33%5.08%4.44%4.00%6.40%4.2%4.57%9.72%A1A2A3A4A5A6A7A8A9A107.09%3.84%4.03%4.64%5.47%11.1%5.26%4.43%4.03%4.06%步骤三中，我们结合最优产出理论证明了同一商区内大小超市的最优数量比，基于步骤二的结果建立模型，并通过科学假定参数，通过Lingo软件得到了一组网点设计方案，以供决策者参考：C1C2C3C4B1B2B3B4B5B6大超市2223223224小超市55586696714A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10大超市3222353222小超市105678168666最后针对模型的特点，我们阐释了其方法的科学性，结果的现实性和一些改进之处。关键词：floyd算法最优产出理论整数规划公交车出租私车地铁中餐西餐商场34%19%9%38%22.5%52.5%25%2一、问题重述在即将到来的2008年北京奥运会的主赛场周边地区需要建立MS(迷你超市)网以满足游客的消费需求。MS在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。题中给出了真实地图的简化图，以及在附录中给出的三次调查的数据，现要求做到：1、根据问卷得出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。2、测算图2中20个商区的人流量分布（用百分比表示）。3、仅考虑两种规模的MS，给出图2中20个商区内MS网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三个基本要求。4、说明解决方法的科学性，并说明结果是贴近实际的。二、问题的分析问题的总括：通过统计调查问卷，得出运动会观众出行和用餐的需求偏好及购物欲望，并以此为根据测算出北京奥运会体育馆周边各个商区的人流量分布，从而更进一步结合实际，设计出各个商区内MS网点的最优分布。问题的宗旨：1、网点能满足观众的购物欲望（非餐饮方面）。2、两种类型的MS网点分布基本均匀。3、使得期间网点商业净利润为正，并且尽可能大。问题的关键与难点：1、找准问卷反映的规律。2、测量最短路径，从观众的角度选择路径。3、把两种MS规模及商区的面积按实际量化建模，定量设计网点。综上，问题的解决过程要分找规律、求人流量比例，设计网点三个步骤。（即题目顺序）三、模型的基本假设1、对步骤二的假设：1）奥运游客对出行方式和餐饮方式的偏好与调查所得的规律一致。2）奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮。3）观众根据手中的地图，选择最短路径，且按原路返回。4）国家体育场（鸟巢）容量为10万人，国家体育馆容量为6万人，国家游泳中心（水立方）容量为4万人。三个场馆的每个看台容量均为感谢您对网站建设的支持和参与31万人，出口对准一个商区，各商区面积相同。5）观众从各个交通工具的站点下车后，均采取步行的方式到达体育场馆。2、对步骤三的假设：1）网点的商圈是以网点为中心的圆。2）只考虑两种大小规模的商圈，且大小超市吸收顾客的能力（可视为收益）与其商圈面积的大小成正比。3）不考虑商区内超市网点的竞争，任何网点的商圈彼此相离。4）在简化模型中暂且认为，每天一个商区内的需求量均保持一定。四、符号说明φ二十个商区的集合，即10..1,6..1,4..1},,,{===kjiCBAkjiϕφ中的元素，即φϕ∈ϕNϕ商区中大规模超市的个数ϕnϕ商区中小规模超市的个数bC一个大规模超市的总成本（包括构建成本，经营成本等）sC一个小规模超市的总成本ϕbRϕ商区中所有大超市的营业收入之和ϕsRϕ商区中所有小超市的营业收入之和ϕDϕ商区的总需求Qϕϕ商区一天的人流量五、进一步分析与模型的建立步骤一：统计调查问卷调查问卷是获得客户需求以更好的制定决策的主要方式，对此调查问卷整感谢您对网站建设的支持和参与4理和统计后所得出的规律将对后来问题的决策有着决定性的影响。对于这三次共10600份调查问卷，我们通过运用Excel将部分原数据转化成0-1矩阵并将其转录到SPSS分析软件上，分以下几项进行统计研究。1、偏好：分别对每一次调查中观众对于出行方式和用餐方式的偏好进行百分比求值：（%）表1公交车南北公交车东西出租私车地铁东地铁西中餐西餐商场第一次17.517.119.48.818.418.822.452.525.1第二次16.817.418.69.218.919.122.652.325.1第三次1617.218.89.119.419.422.452.824.8观察到三次统计结果十分接近，可以认为三次调查问卷的性质完全相同，故综合考虑，结果如下：(%)表2公交车出租私车地铁中餐西餐商场341993822.552.5252、性别与消费额：女平均消费额（按问卷上的等级）：2.739男平均消费额：2.31看出女子消费者的消费量要高于男子消费者的消费量。3、年龄与消费额：20岁以下：1.9920—30：2.7930—50：2.5050岁以上：1.584、人均消费额：将每档消费额取中点值，结合人数比例求得人均消费额Re=201.7元其中消费额的分布直方图如下：消费额（非餐饮）消费额（非餐饮）654321500040003000200010000感谢您对网站建设的支持和参与55、其他：通过SPSS软件的相关性分析，可认为出行方式与消费额，用餐方式与消费额均没有明显规律和关系。步骤二：测算人流量百分比根据图二，我们描绘出进一步简化的图1：问题可以考虑为找出每个出口的人根据自己的偏好在最短路径上经过的商区汇总。偏好的分布我们已由步骤一得到，因此问题的关键是找出最短路程。用画图工具测出相关的路程，简化整理成赋权图：（我们先舍弃了与路口不相接的商区）经计算机程序的计算（见附录（1）），我们找出了从图中所选的六个商区出发，选择各出行用餐方式的最短路径，进而我们补充汇编了从任一商区到任一种出行和用餐场所途经的商区汇总矩阵（见附录（2））。但从实际角度出发，观众感谢您对网站建设的支持和参与6在某几种情况下（如从B1出发去公共汽车车站）很难判断两种路径细微的差别，因此我们在这里把不能通过观察判断的情况找出，假定观众随机的选择两种路径，进行修正。程序和修正后的商区汇总矩阵见附录。经过统计观众进行各种出行和用餐所经过的各商区的数目，我们得到了一个720×的矩阵K1（见附录（3）），表示选择每种出行或用餐方式的观众所经过各商区的人流量百分比。按公交车，地铁，出租，私车，中餐，西餐，商场用餐顺序，现定义偏好向量H和人流向量J，使得J=Q×H，表示了选择各偏好的往返人数。其中，Q=400000，表示一天观众出行或用餐的往返人流量H=[0.340.190.90.380.2250.5250.25]，表示各出行和用餐方式在同类中的比例。再令K2=K1×J,则根据K2各行向量之和可求得一天内任一ϕ商区的人流量Q，从而得到商区的人流量百分比。综上，步骤二要建线性模型如下：J=Q×H（1）K2=K1×J（2）具体数值计算留在模型求解中计算。步骤三：最优网点设计这是问题的难点，也是我们问题研究的最终目的。一、难点处理：由于无法掌握四年后的具体数据以进行分析求解，我们只能通过两个途径逐步解决：1)模型的简化。研究对象是一个非常复杂的动态系统，具有不确定性。可以考虑先通过进一步假设简化建模。首先，在某一商区内一天的人流量ϕQ和需求量ϕD是固定的，其中的ϕD可以由调查问卷测算的人均消费额Re和ϕQ确定，有：ϕD=Re×ϕQ（3）另外，大小商圈可以看成是两个面积比值为p（p1）的圆形区域，依据基本假设，大小超市吸收顾客的能力之比也为p，则有：bsRpNRnϕϕϕϕ×=（4）再有，顾客的总需求量ϕD为超市提供了利润的来源，这里认为，在满足需感谢您对网站建设的支持和参与7求的情况下有：ϕD=ϕbR+ϕsR=Re×ϕQ（5）2)参数估值。在复杂性之外，有很多必要的参数也是未知的，这就给模型建立后的求解带来了很多不便。可考虑自估参数或查阅经验数据，对模型的可行性进行检验，或者保留参数，待日后确定。二、问题的突破口先分析一个商区内的网点分布，由于大小超市均涉及到数量，成本和收益的权衡问题，因此我们把大小规模的超市看成两种产品，且有：bC=psC（6）我们要解决的问题是：在市场（总需求）一定的情况下，两种超市的最优产出是多少。由（3）（4）不难得出：ϕϕϕϕϕnNpDNpRb+⋅⋅⋅=（7）大规模超市的边际收益2)(ϕϕϕϕϕϕϕnNppnDNRMRbb+⋅⋅⋅=∂∂=（8）同理有：小规模超市的边际收益2)(ϕϕϕϕϕϕϕnNppNDnRMRss+⋅⋅⋅=∂∂=（9）根据经济学中的最优产出理论，当⎪⎩⎪⎨⎧====sssbbbCMCMRCMCMRϕϕ成立时，利润是最大的，再代入（7）（8）两式，等式两边分别相除得：pCCNnsb==ϕϕ（10）（对最优产出理论的简略证明见附录（4））这样，我们得到了两种超市的最优数量配比率，即等于其成本之比的倒数。三、确定模型我们得出的最佳个数安排，仅仅是对于该商区内的超市赢利最大的必要条件，并非充分条件，因此有必要深入的优化组合。在保证商业赢利的同时，使得商区内大小超市的布局满足另外的一些基本要求：感谢您对网站建设的支持和参与8a)满足购物需求。则有：ϕϕDS≥代入（3）即：ϕϕϕϕQDNpnA⋅=≥⋅+⋅Re)(（11）其中，A为一个小商区的供应量。b)保证赢利。ϕϕϕQRNCnCbs⋅=≤⋅+⋅Re（12）c)比例接近p。考虑到ϕN，ϕn是整数，因此我们不能强要求pNn=ϕϕ，我们转而将第三个约束条件放宽，即允许其在一定范围内波动，假设其波动的大小为σ（)10σ，这时大小超市个数的最佳比例约束为：σϕϕ≤−pNn（13）在保证这两个前提的情况下，我们将商区内大小超市的净利润之和作为目标函数，把（11）（12）（13）作为约束条件综合考虑得到整数线性规划模型：MaxϕϕϕNCnCQbs⋅−⋅−⋅Re目标函数ϕϕϕQNCnCbs⋅≤⋅+⋅Re赢利约束ϕϕϕQNpnA⋅≥⋅+⋅Re)(需求约束σϕϕ≤−pNn最佳比例约束六、模型求解1、步骤二的求解经对最短路线的统计，可得：K2=K1×J=K1×H×Q=感谢您对网站建设的支持和参与92615.43931.031965.5692.32046.41859.324963.777846.22620.695241.413851364.31239.543309.182615.43931.031965.5692.32046.41859.324963.772615.410482.81310.313855457.14958.1813236.72615.46551.721965.5692.31364.35577.9515718.63923.13931.033275.910382728.63718.6312409.47846.22620.697862.120778185.76197.7214891.32615.43931.033275.9692.32728.63718.6315718.63923.16551.721965.510381364.34958.1815718.67846.215724.11310.320771364.312395.434746.42615.42620.69131036923136431239.5414891.33923.13931.035896.631156139.31859.324963.77653