中南大学XXXX年在职研究生高等工程数学考试复习题集

中南大学工程硕士“高等工程数学”习题集1/31中南大学工程硕士“高等工程数学2010A”考试试卷一、填空题(本题24分，每小题3分)1.若方程0)(xf可表成)(xx，且在[,]ab内有唯一根*x，那么)(x满足{1()[,]xCab,且[,]xab有()[,]xab,'()1xL；）}，则由迭代公式)(1nnxx产生的序列nx一定收敛于*x。2.已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)TfxxxxxxxX，该函数从X0出发的最速下降方向为（最速下降方向为：4,2Tp）；3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)TfxxxxxxxX，该函数从X0出发的Newton方向为（Newton方向为：2,0Tp）；4．已知)(xfy在区间],[ba上通过点(,),0,1,2,,iixyin，则其三次样条插值函数)(xS是满足{（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]ab上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,iiSxyin）}5．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值12(,,,)nXXX落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为0.15；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈大愈好，而置信区间的长度愈短愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是变长；7．取步长2.0h，解]1,0[,1)0(2'xyyxy的Euler法公式为：（1(2)0.60.2,0,1,2,,5nnnnnnyyhxyyxn）；8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有：模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。中南大学工程硕士“高等工程数学”习题集2/31二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。【P298】合金矿石锡（%）锌（%）铅（%）镍（%）杂质（%）费用（元/吨）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151715190（1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。（不要求计算出结果）；（2）写出所建立的模型的对偶形式。（1）设,1,2,5)jxj（是第j种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下：123451245134513512345123451min3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.1..0.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70Zxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxxxxxxx2345.70.40.80.4510,1,2,5jxxxxxj4分（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：1234561234561456234561245612max0.280.150.10.550.350.25-0.10.10.250.250.73400.40.30.30.72600.150.050.20.20.4180..0.20.20.40.40.82300.080.050.1fyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyystyyyyyyy34561112453650.170.170.451900,0,0,0,,yyyyyyyyyRyR4分中南大学工程硕士“高等工程数学”习题集3/31三、（本题8分）已知)(xf的数据如表：x0137)(xf00.521.5试求三次插值多项式P(x)，求(4)f的近似值，并给出相应的误差估计式。【P30】解：用Newton插值法求)(xf的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：xif(xi)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0010.50.5320.750.25/371.5－0.125－0.875/6－1.375/42418.25/7-0.37-0.245-0.033-0.000065由差商表得出)(xf的三次插值多项式为：300100120101230123()()[,]()[,,]()()[,,,]()()()0.251.375()0.5(1)(1)(3)342NxfxfxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxxxNxxxxxxx于是有30.251.375(4)(4)0.54434313422.7518.252177fN相应的误差估计式为：3012301233()[,,,,]()()()()()[0,1,3,7,](1)(3)(7)[0,1,3,7,4]431(3)0.000065(36)0.00234RxfxxxxxxxxxxxxxRxfxxxxxf中南大学工程硕士“高等工程数学”习题集4/31四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（C0），观察它在100的水中溶解的NaNO3的重量（g），得观察结果如下：【P209】温度x20303340151326383543重量y7981154810910（1）求Y对X的线性回归方程。（结果保留小数点后两位。）293101iix,81101iiy,1012574iiiyx,95771012iix,7011012iiy（2）对回归方程的显著性进行检验。（取显著水平为0.05，0.01），0.05(1,8)=5.32F0.01(1,8)11.26F，0.050.01(8)1.8595(8)2.8965tt。解：（１）29.38.1xyy25741029.38.1200.7xiiLxynxy22225741029.3992.1xxiLxnx222yy701108.144.9iLyny4分200.7ˆ0.20230.20992.1xyxxLbLˆˆ8.10.202329.32.17aybx回归函数为ˆ()2.170.20xx4分（２）2yyy11ˆˆ()(44.90.2023200.7)0.5428xLbLn22y2ˆ0.2023200.715.21ˆ0.54xbLF，或3.9TF2分0.050.01(1,8)(1,8)FFFF故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的或0.050.01(8)(8)TtTt故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。12分中南大学工程硕士“高等工程数学”习题集5/31五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：【P278】12121212max300400240..1.5300,0Zxxxxstxxxx12312412342+=40..+1.530,,0xxxstxxxxxxx解：(1)化为标准形式：，（2）列初始单纯形表（单位矩阵对应的变量为基变量3x，4x）（3）换基（初等行变换，主列化为单位向量，主元为1）(4)最优解**(15,10),8500Txf基本变量BCBX1x2x3x4x300400003x040211040/1=404x03011.50130/1.5=20Z0000判别行30040000讲义反基本变量BCBX1x2x3x4x300400003x0204/301-2/320/(4/3)=152x400202/3102/320/(2/3)=30Z800/34000-800/3判别行100/300-800/31x30015103/4-1/22x4001001-1/21Z30040025250Z300x15+400x10=850000-25-250中南大学工程硕士“高等工程数学”习题集6/31六、（本题10分）试确定求积公式012()()(0)()hhfxdxAfhAfAfh中的待定系数，使其代数精度尽量高。【P67】2012022202021333444()1,,2()02()314,33()()33334()()(0)()333hhhhfxxxAAAhhAAhAAhAAhAhhhhhxdxhhxdxhhhhhfxdxfhffh，解：将分别代入求积公式，令求积公式成立，则有：从而解得：所求公式至少具有两次代数精度，且进一步有原积分公式hh具有三次代数精确度。中南大学工程硕士“高等工程数学”习题集7/31七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：【P233】药物治愈所需天数12345，7，7，7，12，84，6，6，13，4，66，4，8，5，3，97，4，6，6，3，15试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（05.0，0.05(3,20)3.10F）解：I=4，N=24，222r1n2rr2111n2i11105850712251681(46393541)SSA=()10.5326624105850712251681SSE=1291()200.53266==iiiiiiijijiirijiiiTTnnTXnTXTT/(1)3.50.35/(1)10.02SSAIFSSEN0.05(3,20)3.10FF故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别（正确算出F值给10分，结论正确给2分）药物治愈所需天数iT2/iiTnin12345，7，7，7，12，84，6，6，13，4，66，4，8，5，3，97，4，6，6，3，15463935411058/3507/21225/61681/6n1=6n2=6n3=6n4=6方差来源平方和自由度样本方差F值组间（因子）SSA=10.5I-1=3SSA/(I-1)=3.50.35组内（误差）SSE=200.5N-I=20SSE/(N-I)=10.02总和21123中南大学工程硕士“高等工程数学”习题集8/31八、（本题16分）设方程组为【P134】7989783213121xxxxxxx（1）对方程组进行适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式；（3）取初始向量Tx)0,0,0()0(，用该方法求近似解)1(kx，使3)()1(10kkxx。解：（1）将原方程组调整为1231213978798xxxxxxx，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛。5分（2）高斯－塞德尔迭代格式为(1)()123(1)(1)21(1)(1)3111799917881899kkkkkkkxxxxxxx5分（2）取T)0()0,0,0(x，用上述迭代格式计算得k)(1kx)(2kx)(3kx10.77777780.97222220.975308620.99417010.99927130.999352230.99984710.999980