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学校选址问题摘要本文针对学校选址问题建立了三个数学模型，解决了建校数量最少和总成本最低的建校方案问题。模型一：首先，根据给定的16个校址及其覆盖的小区情况，运用0-1规划做出备选校址0-1规划表；然后，根据0-1规划表建立线性约束条件，并运用Lingo软件求解出最少需要选择校址的个数为4个；最后，利用Matlab编程求解出所有可行的方案共有22种。针对问题二，用两种方法求解，分别建立模型二和模型三。模型二：首先，对建校成本参数表进行分析可知，建校固定成本和规模成本可以分为高、中、低三种类型，要使建校总成本最低，优先选择建校成本低的校址；其次，对所选校址覆盖小区多少进行分析，对未覆盖的小区考虑中成本和高成本的校址进行覆盖，直到所有小区全部覆盖。由于校址14覆盖的小区恰好在校址10覆盖的小区范围内，对校址14的选择与否进行讨论，得到，当选择校址为10，11，13，14，15，16时，建立学校所需的成本最低，为1650万元。模型三：对学校建设成本参数表进行分析，可知固定成本少的校址总成本必定会最少，由模型一结论知校址最低选择4个才能满足覆盖所有的小区，结合各小区1到6年级学龄儿童数平均值和建设成本参数表，可得选择校址为8个时完全可以覆盖所有小区。通过Matlab编程求解出所选校址为4~8个时，固定成本最低的选择方案及其总成本。选择出最低总成本所对应的建校方案为：选择校址为10，11，13，14，15，16时，建立学校所需的成本最低，为1650万元。最后，对模型进行灵敏度分析，并对模型进行评价及推广。关键词建校个数最少总成本最低0-1规划Lingo软件Matlab编程-1-1问题重述1.1问题背景改革开放以来，城市化迅速发展。中小城市逐步崛起，人口也渐渐向城市迁移，各行各业也随着发展的需求慢慢出现。教育业是其中必不可缺的，在条件有限的情况下，建立适当数量的学校，以此来保障学生的受教育问题，校址的合理选择具有决定性的作用。选择校址时要考虑尽可能建最少的学校覆盖更多小区，方便学生上学，保证每个学生有学校上，同时也要考虑建校成本的多少。1.2基本条件1建校成本计算方法；2每个学校建设成本参数表；3已知各个校址所覆盖的小区；4建一所学校的成本由固定成本和规模成本两部分组成；5新开发的20个小区需要建设配套的小学，共有16个校址可供选择；6根据小区规模大小用统计方法得出每个小区的学龄儿童的估计值(样本均值)。1.3问题提出一建立数学模型求学校个数最少的建校方案，用数学软件求解并说明所使用的软件及输入指令；二设计总成本最低的建校方案。2问题假设与符号说明2.1问题假设1每个学校教学质量都一样，被多个校址覆盖的小区的学生都愿意去其中任何一所学校；2.2符号说明iα：建校的固定成本；ic：第i个备选校址的建设成本；iβ：学校建设成本参数；c：建校的总成本。3问题分析3.1问题一的分析首先，由题目可知，要对新开发的20个小区进行建校方案的确定，已知有16个校址可供选择，每个校址所覆盖的小区不只一个，现要从16个校址中选择若干个校址进行建设，要求所选方案中的校址可以覆盖每个小区，并且使学校个数最少。其次，对题目所给定的备选校址表（附录A）进行分析可知，每个备选校址所覆盖的小区都不相同，要使所选校址覆盖每个小区，则每个小区至少有一次在所选校址的覆盖范围内。一个小区有没有被覆盖，可以通过0-1规划方法建立0-1规划表（用0表示未被覆盖，1表示被覆盖）以此建立线性约束条件，运用Lingo软件求解出最少需要选择校址的个数。再次，对求解所得的校址进行分析可知，所得校址个数为最少的校址个数，但通过Lingo求解最少校址个数的同时，只能得出一种可行的方案，所以利用Matlab编程求解出在满足最少校址个数情况下的所有的方案。最后，对所有的方案进行统计并说明。-2-3.2问题二的分析3.2.1方法一的分析由题目可知，建立一所学校的成本是由固定成本和规模成本两部分组成，固定成本由学校所在地域以及基本规模学校基础设施构成；规模成本指学校规模超过基本规模时额外的建设成本，它与该校学生数有关。每个学校至少可容纳600个学生，当学校学生数在600以内，建校成本只计算固定成本；当学校学生超过600人时，要计算固定成本和规模成本。为使总成本最低，从建校成本最低的校址开始考虑，由题目所给定的学校建设成本参数表可知不同校址建校成本分为三种，所以首先，先选择建校成本最低的校址；其次，对所选校址未覆盖的小区进行分析，然后选择建校成本较高的校址对其进行覆盖；最后，对还未覆盖的小区，选择建校成本最高的校址进行覆盖。由此求解得到总成本最低的建校方案，据此建立模型二。3.2.2方法二的分析首先，对学校建设成本参数表进行分析可知，建立学校的成本由固定成本和规模成本两部分构成，固定成本少的校址所对应的决定规模成本多少的相关系数小，故可以通过确定固定成本最少来决定总成本最少。其次，由问题一的分析可知，校址的选择最少为4个，再由题目中给定每个小区的人数及每个校址建立学校不考虑规模成本时最多的人数，可以确定8个校址为最多的选择方案，完全可以覆盖每个小区。由建设成本参数表可知，固定成本分为三类，在每个小区都必须覆盖的前提下，不妨先考虑固定成本最低时的选址方案，通过Matlab编程求解出在校址个数（4~8个范围内）相同的情况下，最少固定费用的选址方案。再次，对所选校址中重复的小区学生人数进行处理，先把小区学生放在固定成本最高的校址内，若有覆盖小区重复则在满足达到600人的条件下，学生可以去低成本的学校进行受教育。如若出现重复小区学生都到低成本学校受教育后，高成本的学校人数超过600人，对其进行规模成本的计算。最后，计算出所有方案所对应的总成本，选择最小的成本即为所求的解。由此建立模型三。4模型建立与求解4.1数学软件说明Matlab矩阵实验室最初主要用于矩阵运算，现在其功能十分强大，可以求解数学中所遇到的大多数问题。本文主要用到的命令有for，if，fprintf等。Lingo可以解决规划问题，但主要解决最优化问题，通过建立规划模型来实现现实生活中最优选择。本文主要用到的命令有@bin()。4.2模型一的建立与求解由问题一可知，要从备选的16个校址中选择最少的校址进行建设，并且要求覆盖所有的小区，则每个小区至少有一次在所选校址的覆盖范围内。对题目中给定的备选校址表，通过0-1规划建立备选校址0-1规划表(校址如果覆盖小区用1表示，未覆盖标用0表示)-3-备选校址0-1规划表12345678910111213141516110011000001000002110000000010001131110000000000011410011000001000015011001000001001161001000100100000700011001101000008010011000000000190000110011010100100000011001010100110110111000000010120001000100001000130000100110001000140000100011001100150000001011000100160000011001010000170000000110001000180000000111001000190000001011000000200110011000010010因为每个小区至少有一次在所选校址的覆盖范围内，所以由备选校址0-1规划表可以建立规划模型1为-4-目标函数16jj=1minZ=x∑14511121115161231516145111623612151614811458911256165691012146710121123567x+x+x+x1x+x+x+x+x1x+x+x+x+x1x+x+x+x+x1x+x+x+x+x+x1x+x+x+x1x+x+x+x+x1x+x+x+x1x+x+x+x+x+x1x+x+x+x+x1..xx+x+x+x+xst≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥约束条件154813589135910131479101467101289138910137910236712151161x+x+x1x+x+x+x1x+x+x+x+x1x+x+x+x1x+x+x+x1x+x+x1x+x+x+x1x+x+x1x+x+x+x+x+x1x~x=01⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎪≥⎪≥⎪⎪≥⎪≥⎪⎪≥⎪⎪≥⎪≥⎪⎪≥⎪⎪⎩或以上线性约束通过Lingo编程（见附录B）求解线性约束方程，得到最少的校址个数为4个，但得到的方案只有一种，而方案可能有多种，所以通过Matlab编程（见附录）求解出所有的建校方案为C所选校址第1种方案581015第2种方案57816第3种方案57815第4种方案491216第5种方案47916第6种方案46916第7种方案46915第8种方案2101113第9种方案281011第10种方案25810第11种方案2578第12种方案241013-5-第13种方案24912第14种方案24910第15种方案24810第16种方案2479第17种方案2469第18种方案16913第19种方案16810第20种方案1689第21种方案1469第22种方案128104.3模型二的建立与求解针对问题二，考虑到每一个小区的学龄儿童数会随住户的迁移和时间发生变化，当前的数据不能作为确定学校规模的唯一标准，于是根据小区规模大小用统计的方法得到每个小区得到学龄儿童数的估计值，如表3表3各小区1到6年级学龄儿童数平均值（样本均值）小区12345678910学龄儿童120180230120150180180150100160小区11121314151617181920学龄儿童180240210220280260320380360300为使总成本最低，从建校成本最低的校址开始考虑，由题目所给定的学校建设成本参数表（附录）可知不同校址建校固定成本和规模成本分为三种，所以D首先，先选择建校成本最低的校址：13，14，15，16校址；其次，选择选择建校成本较高的校址：8，9，10，11，12校址；最后，选择选择建校成本最高的校址：1，2，3，4，5，6，7校址。又由备选校址表可知各校址覆盖的小区情况如下，13校址所覆盖的有12，13，14，17，18小区；14校址所覆盖的有9，10，14，15小区；15校址所覆盖的有2，3，5，11，20小区；16校址所覆盖的有2，3，4，5，8小区。除去13，14，15，16校址覆盖的小区外，未覆盖的有1，6，7，19小区。结合备选校址方案表可知10校址覆盖的有9，10，14，15，16，18，19小区；11校址覆盖的有1，2，4，6，7小区；10和11校址恰好覆盖的有1，6，7，19小区。由于14校址覆盖的小区恰好在10校址覆盖的小区范围内，可以选择建（或不建）14校址。由此分为两种情况考虑情况1选择校址14建校情况2不选校址14建校-6-针对情况1由表1得到10，11，13，14，15，16号校址覆盖小区的情况如下小区学校101113151651234106789小区1511121314201617181914图1学校覆盖小区情况图结合表3和图1，得到学校覆盖小区在校学生和总学生人数情况如表5表5学校与学生人数校园101113小区1619146712131718学生人数260360120120180180240210320380总学生数6206001150校园141516小区9101415211202358学生人数10016022028011018030070230150150总学生数760590600由于学校的成本的解析式如下ic200010010500600iiicβα×⎧×××⎪=+⎨⎪≤⎩（学生人数-600）(单位：元)学生人数600学生人数将表2的数据带入上式得（为方便计算，单位都化为万元）建立10校园的成本为103500.14(620600)358c=+××−=（万元）建立11校园的成本为113