建模作业 北京奥运会临时迷你超市

数学建模结业论文论文名称北京奥运会临时迷你超市网点设计与优化所属班级安全工程0802班作者白心愿学号08030702191北京奥运会临时迷你超市网点设计与优化一、问题的重述在2008年北京奥运会全面设计和实施阶段，需要我们对比赛主场馆的周边区域（即图中所标示的A1-A10、B1-B6、C1-C4区域）设置临时商业网点，即迷你超市MS网，以满足各类人员在奥运会期间的购物需求。为了得到奥运期间人流量的规律，可以通过对某运动场预演的运动会做问卷调查，从而了解观众在出行、用餐、购物方面的需求规律。要求：找出观众出行、用餐和购物的规律。根据每位观众平均每天采取最短路径一次进出场馆一次出入餐饮，测算上述20个区域的人流量分布。给出具体的MS设计方案，要满足奥运会期间购物的需求，超市分布均衡且能赢利。结果要贴近实际，最后阐明所用方法的科学性。二、模型的基本假设1、预演运动会问卷调查所反映的规律基本符合奥运会期间购物、出行、就餐的规律。2、每个看台能容纳观众数目为一万人，且满座率为100%；3、观众需在公交停靠点、地铁站、出租交通工具停靠点、私家车停靠点下车后步行进入主场馆区域。4、观众每天平均出行两次，先进出场馆，再完成餐饮，购物在进出场馆间完成。5、观众每次出行均遵循最短路径原则。6、每一位消费者在一个商区内只购物一次。7、对于有两条最短路径到达看台的观众，他们一般是优先选择走人少的商区（为了避免拥挤）和不同的路径(满足观众心理)。三、符号说明符号表示意义备注ia第i个商区为了方便，统一将A1-A10、B1-B6、C1-C4个商区分别表示为201aajT第j个看台题目中商区A1-A10、B1-B6、C1-C4所对应的看台分别用1T20TjN第j个看台的能容纳观众的数目iS第i个交通工具停靠点i=1~6，分别表示公交（南北）、公交（东西）、出租、私车、地铁（东）、地铁（西）iW第i个就餐地点i=1~3，分别表示中餐、西餐和商场（餐饮）2iP某一类群体特征的概率ijmQ最短路径时的人流量从交通工具停靠点iS到看台jT路过第mu商区的人数ijR由交通工具停靠点iS到达看台jT的最短路径uijR由交通工具停靠点iS到达看台jT的第k条最短路径通常情况下，最短路径不超过两条iV第i个商区的总人流量iV1、iV2分别表示第i个商区入场和进场的人流量i每个商区的人流量占整个总人流量的百分比亦即人流量分布的百分比盈利系数E所有消费者群体总的消费期望1ix第i个商区大型MS的个数2ix第i个商区小型MS的个数1建一个大型MS所需的费用每天所分摊的营建费用，即总建设费用除以比赛的天数2建一个小型MS所需的费用同上1大型MS能容纳的人流量2小型MS能容纳的人流量四、问题的分析及模型的建立问题一的数据分析和模型建立：问卷调查的数据给出了预演运动会的不同观众在出行、用餐和购物等各方面的情况，这实际上比较真实而客观地模拟出了2008年北京奥运会的实况，我们的任务是从这些庞大的调查数据中找出观众在这各个方面的变化规律，可以归结为一个数理统计的问题。我们计算调查的样本的均值作为估计值，由于在三次的调查统计的人数都不同，则我们3计算均值采用加权平均：313111iiiiijnynX（xj为各个类型的人群体的均值，j为1，2，3…；yi为第i次统计的一群体的数量；ni为第i次统计的样本容量，i为1，2，3）我把均值所占总体的比例视为其发生的概率，于是我们就可以得到：各个类型的人群体出现的概率：jjjixxp这就是我们建立的简单的统计各种类型观众出现的概率规律的模型。问题二的分析和模型的建立为了简化问题的讨论，我们假设观众在这一天的活动情况为采取先入场后就餐的模式，在入场和出场就餐的过程中都有可能购物，但对每一位观众来说，他一天只购物一次。根据我们的假设，我们得到任意一个商区的观众流量，由入场时所经过的观众的总流量和出场观众的流量两个部分构成，即有：每个商区观众的总流量=该入场观众的总流量+该出场观众的流量而由分析知，入场观众的总流量由观众出行下车所在的位置至观众看台的路径决定，我们认为出场观众的流量则由观众到达就餐地点的路径决定。用图形表示为：下面我们分别分析各商场入场观众的总流量和出场观众的总流量。（一）各商场入场观众的总流量设看台jT的总观众的数目为jN，则由iS交通工具停靠点到达看台jT的观众的人数为：ijPN假设由交通工具停靠点iS到达看台jT的最短路径为ijR，在一般情况下，最短路径是唯一的，而在本问题的讨论中，在特殊情况下有两条路径可以在满足最优条件，在有两条路径的情形时候，我们认为每为观众选择任何一条路径的概率相等，各为1/2。于是为了使模型能更好地反映出所有最短路径的情况，我4们引入uijR来代替ijR。uijR的意义是由交通工具停靠点iS到达看台jT的第u条最短路径，实际上由于最短路径的条数不超过2，即uijR的取值为1ijR，2ijR，虽然表面上增加了变量的维数，而实际上由于取两条最短路径的情形较少，因此增加变量的维数对本问题的顺利解决影响不大，考察uijR经过的商区根据先后顺序排序，组成的点集1,1,,...uuuijijijkRRR，（u=1,2）对于每条路径上的商区的人的流量可以视为相同，可得出为：（只有一条最短路径时）（有两条最短路径时）这样一来，对于任意的商区ia其通过的入场观众的总流量为：1iijmijVQ（当ijmiRa时即某一路径通过该商区时才会有人流量）（二）各商场出场观众的流量根据前面的假设，观众在看完比赛后的事情便是到餐厅就餐，考察的情况便是看完比赛后选择就餐的地点和方式。对于观众出场的情形，与观众入场时的情形相似，微小的区别在于入场时是要求交通工具停靠点与看台的距离最短，而出场的时候要求的是看台与就餐地点的距离最短。为了考察问题的方便，我们把预演的时候所得到的观众选择各种餐馆的概率作为观众选择新的餐馆的概率。对于任意看台jT，到达任一餐馆iW必有最短路径。记其最短路径的方式与入场时相同，用'uijR来表示，组成的点集记为组成的点集'''1,1,,...uuuijijijkRRR，（u=1,2）。观众到达任一餐馆iW的概率为iP，问题一中已将其求出。则每条最短路径上的人流量为：（只有一条最短路径）（有两条最短路径）这样一来，对于任意的商区ia其通过的入场观众的总流量为'2iijmijVQ()ijmiRa（三）各商场总的人流量及其百分比根据我们的假设，每个观众在进入场馆时和退场时购物的机会是相同的，这样我们将1iV和2iV直接相加即可得到各商区总的人流量iV。即有关系式：iV=1iV+2iV/2ijijmijPNQPN'/2ijijmijPNQPN5/2ijijmijPNQPN故每个商区的人流量占整个总人流量的百分比为：iiiiVV综上讨论和分析过程，我们最终建立的模型如下：（1）每个商区的人流量占整个总人流量的百分比：iiiiVV（2）各商场总的人流量为进场的人流量与出场时的人流量之和：iV=1iV+2iV（3）各商区ia入场总的人流量为经过该商区各条路径的总流量之和：1iijmijVQ()ijmiRa(4)入场当只有一条最短路径和有两条最短时路径时人流量的计算：只有一条最短路径有两条最短路径（5）各商区ia出场总的人流量为经过该商区各条路径的总流量之和：2iijmijVQ()ijmiRa(6)出场至餐馆当只有一条最短路径和有两条最短时路径时人流量的计算：只有一条最短路径有两条最短路径问题三的分析和模型的建立：根据问题的已知条件，影响商店选址的主要因素是商圈内的人流量及购物欲望。商圈内的人流量可以较直观地如问题二的过程求出。对于购物欲望，也不难建立一个直观的模型来反映。而问题的关键在于如何将两者有机地结合起来。通过对问题的分析，我们引入一个能将两者结合的量——消费人流量。其定义为：某点在某一路径上的消费人流量=该路径上的人流量人流量在该点的购物欲望这样就创造性地将影响选址的两个主要因素结合起来，极大地方便了问题的讨论。然后在设计两种不同大小迷你超市的时候，以消费人流量作为主要的考虑标准，将问题予以顺利的解决。下面分别逐步建立问题的模型。（一）确定人的购物欲望的模型：由消费经济学知识和日常生活中的常识知：某人欲到达某地，则他（她）到达目的地想购物的欲望最强烈，而在到达目的地的途中，其欲望显然不及目的地。又由常识知，在路径的最开始端，欲望最低，然后随着其不断行走，购物欲望不断增强，直到到达目的地其欲望达到最大。我们定义目的地的购物欲望为1，其它地方的购物欲望因子值即反映了该处购物欲望与目的地购物欲望的比例。/2ijijmijPNQPN6为了讨论问题的方便，联系本实际问题，我们选择用一个指数函数衰变因子来表示观众购物欲望的在不同的商区的变化情况。该指数函数形式为：=k。（k为路径上与目的地相差的商场的个数）考虑一个实际的简单例子来解释说明我们定义的指数形式：公交南（北）6a7a8a9a。由于9a为目的地，故9a所对应的购物欲望最强为：09=1；而8a对应的购物欲望为：18；7a对应的为：27；6a对应的为：36。（二）确定各商区的消费人流量对于各商区的消费人流量，由于可能有不同的路径经过该商区，因此，该商区的总人流量为各路径在该商区产生的人流量之和。作为本题考察的关键，是满足已知的购物需求、分布基本均衡和商业上盈利这三个条件来确定超市的设计。通过分析，如果将商业盈利作为我们优化的目标，而其它两个条件作为该目标的约束条件，此问题很快转换为一个带有约束的整数规划问题。对于每位观众可能有不同的消费方式，为了使问题简化，我们假定每位观众的消费额是相同的。这个消费额用所有消费者群体总的消费期望值来表示。用E表示。若商场的盈利系数设为。则对每位观众，商场可盈利为：E。商场建立的条件之一是满足购物需求的条件，很容易得到商场选择较大规模的MS易满足条件。但商场在设计的过程中，另外一个必须考虑的因素是商场兴建的费用。因为MS规模越大，数目越多，所需的费用也会越大，当然所获得的商业利润或回报的利润也就越大。所以我们必须在考虑能满足条件时兴建MS的费用。显然在此问题中，对于任一商区ia，根据前面的定义，有效流量可以看成能够购买物品的观众的数目，因而观众在该商区消费而盈利为：iEV；考虑兴建MS的费用为：1122iixx。因此该商区的净盈利为：iVE1122iixx。而由于需满足每个商区的人流的条件：1122iiixxTol于是我们根据以上的分析讨论过程得到以下的数学模型：目标函数：maxiiVE(1122)iixx约束条件：1122iiixxTol1ix，2ix均为整数1ix0，2ix0（i=1,220）六、模型的改进和推广：如我们建议中的第3条考虑多种规模的MS，可以在此上面将模型予以推广。模型的改进在我们原来模型的基础上很容易实现，只需将我们对每个商区的决策变量由原来的两个增加到多个，其它条件不改变。得到的模型仍然可以用Lindo软件求解，很快得出设计方案。在考虑到，人流密度很大的情况下，我们还可以把出口处较多的超市调到较少的商区去，更好的为消费者服务，也避免了道路的阻塞。此外，我们的模型可以从我们上面提供的一些建议的几个方面来进行调整。这个模型比较接近现实，它很有实用价值，可以为2008年北京的奥运会提供参考。