利用球坐标计算三重积分

第三节三重积分换元法计算三重积分一、柱面坐标求三重积分二、球面坐标求三重积分回顾三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用kkkkv),,(),,(kkkkv引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,,),,(Czyx求分布在内的物质的可得nk10limM“分割,近似,求和,取极限”解决方法:质量M.密度函数为定义.设,),,(,),,(zyxzyxfkkknkkvf),,(lim10存在,),,(zyxfvzyxfd),,(称为体积元素,vd.dddzyx若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作),,,2,1(nkvk,),,(kkkkv下列“乘积和式”极限记作1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”),0),,(zyxf先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:方法1.投影法(“先一后二”)找及在面投影区域D。过D上一点“穿线”确定的积分上下限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按照二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分，完成”后二“这一步。xoy(,)xyz21(,)(,)dd(,,)dzxyDzxyxyfxyzzvzyxfd),,(cd方法2.截面法(“先二后一”)(,):zxyDczd为底,dz为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为vzyxfd),,(baZDyxzyxfdd),,(ZDbayxzyxfzdd),,(dzzDzDyxzyxfdd),,(zzyxfd),,(面密度≈zd记作oxyz2.利用柱坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设,,,代替用极坐标将yx),,z（则就称为点M的柱坐标.z200sinyzzcosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),,(zyxM)0,,(yx如图所示,在柱面坐标系中体积元素为，在二重积分的时候我们讲过极坐标的转化面积微元为zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),,(),,(zF其中),sin,cos(),,(zfzF适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.zdddxyzoddddd体积微元其中为由例1.计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(,0yaazz所围解:在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az0及平面2axyzo20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圆柱体.先二后一ooxyz例2.计算三重积分解:在柱面坐标系下h24drhzhdh2022)4(12]4)41ln()41[(4hhhhzh2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0(hhz所围成.与平面其中由抛物面24原式=22241dd1hrDxydzxy例3.计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解:在柱面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.02R222zR20其中与球面2222(z)dRz)22(515R20drR20dxyzo4Rr注：这个式子虽容易写出，但是要求积分结果非常难，我们能不能找到更加简便的方法来研究这道题目呢？3.利用球坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设),,,(z其柱坐标为就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),,(r则0200rcossinrxsinsinrycosrz坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面,rOM令),,(rMsinrcosrzxyzo如图所示,在球面坐标系中体积元素为ddrrddddsind2rrv因此有zyxzyxfddd),,(),,(rF其中)cos,sinsin,cossin(),,(rrrfrF适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.dddsin2rrd例5.计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解:在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr020其中与球面dddsind2rrvRrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr这种方法简单多了！内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:),,(),,(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),,(ddd),,(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成;（1）若空间闭区域关于平面对称,即即被积函数关于z为偶函数时，xoy(,,),(,,),xyzVxyzV(,,)0Vfxyzdxdydz(,,)(,,)fxyzfxyz即被积函数关于z为奇函数时,则当(,,)(,,)fxyzfxyz当1(,,)2(,,)VVfxyzdxdydzfxyzdxdydz其中是位于平面上侧的部分.1VVxoy积分区域关于其它坐标平面：,yozzox对称，且被积函数分别是的奇、偶函数，也有上述类似的结论,,xy一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性计算三重积分（2）若空间区域具有轮换对称性，即(,,),(,,),(,,),xyzVyzxzxyV111(,,)(,,)(,,)(,,)fxyzfxyzfyzxfzxy11(,,)3(,,).VVfxyzdxdydzfxyzdxdydz则也就是三字母轮换积分区域不改变，zoxy24.设由锥面22yxz和球面4222zyx所围成,计算.d)(2vzyxI提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标rrd420dsin4020d2215642.计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4,1),(2122围成由zzyxz解:zyxxIddd2利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin5222关于为奇函数x