2012高等传热学复习题

1.在某固体内部导热过程中，无内热源，稳态，一元，侧面绝热。沿传热方向的截面的直径是线性变化的，即：dx=kx+d0,其中k为常数,d0为坐标x=0处圆截面直径,da为坐标x=a处圆截面直径,如图1所示。x=0处温度为t0,x=a处温度为ta。设导热系数=m+nt，其中m和n为常数。求物体内部的温度分布t(x)以及热流分布q(x)。解：该问题为变截面无内热源一维稳态导热问题，其导热微分方程为：1.dd0,0addtAxxxx（1-1）式中：202)(44)(dkxdxA。其边界条件为0a0,a,xttxtt（1-2）将=0(1+at)与202)(44)(dkxdxA代入（1-1），得200dd1a0,0ad4dttkxdxxx（1-3）对上式进行两次积分得0120a(1)42()tCtCkkxd（1-4）将式（1-2）代入式（1-4）解得0000a10a2012000(a)()1a4a2a42dkdttCttCCttkd（1-5）故220a0a0000(a+)aa1a22a2ttttkdxttttkxd（1-6）整理得20a0a00202()(a+)11()1aaa2attttkdxtxtkxd（1-7）则0a00a002220a0a00020(1a)()(a+)1ad2()d2()(a+)1a()1aa2atttttkddtqxxttttkdxkxdtkxd（1-8）图1图2图32.采用积分法计算如图2所示的角系数X1,2。解：根据1212211d,d2coscosdcosddAAAr（2-1）由几何关系知222122coscos,cosllrlxrlx（2-2）2ddcoscos,dllxrr（2-3）则1223d,d34cosdd1cosdddAAllxlxrrr3222cosdd()lxlx（2-4）于是123d,222cosddcosd()2AAlxlxdsin2（2-5）由于微元表面dA1可处于A1任何位置，根据角系数性质，有1212,d,dsin2AAAA（2-6）再由角系数定义211211,2,011dsindd2aAAxA2101(sinsin)1d2axA（2-7）又由几何关系知2221222sin4(2)sin4()axaaxaxaax（2-8）则式（2-7）可化为11,2222200122220012222001112dd24(2)4()12dd24(2)4()1(2)4()421522252aaaaaaaxaxxxAaaxaaxxaxaxxAaaxaaxxaaxaaAaaaaA1125aA（2-9）则1,2125aXa1253.试由固体壁面辐射换热定向单色反射率的定义，推导单色半球入射定向反射的反射率计算式。解：双向反射率：在入射方向(,)ii，入射立体角di内，单位时间、单位面积的投射光谱能量为(,)d(,)cosd,iiiiiiiGI，其中(,)iiI为入射光谱强度。在反射方向(,)rr上，它引起的光谱辐射强度为'(,,,)iirrI，则此入射、反射方向光谱双向反射率的定义为两能量之比，即,,=cos'(,,)(,,)(,)diirriirriiiII（6-1）光谱半球-定向反射率(2,,)rr表示半球空间投射来的能量向(,)rr方向反射的性质。其定义为：半球空间投射辐射在(,)rr方向的反射光谱辐射强度'(2,,)rrI与半球空间的平均投射光谱辐射强度/G之比。'(2,,)rrI等于'(,,,)iirrI对所有入射方向的积分。由式（6-1）得,='22(,,)(,)cosd(2,,)(2,,)11(,)cosdiirriiiirrrriiiiIIGI（6-2）如果半球空间投射辐射强度是均匀的，则式（6-2）可写成,,,222(,,)(,)cosd(2,,)(,,)cosd(,,)cosdiirriiiirriirriiiirriiIIII2/200(,,,)cossinddiirriiii（6-3）老师题中所述反射率不明确，所以把光谱定向-半球反射率也写下：光谱定向-半球反射率(,,2)ii是表示某一方向投射来的光谱能量，向半球空间反射的性质。其定义为：投射方向(,)ii上、di立体角内、单位时间、单位面积投射光谱能量引起的半个空间的光谱反射辐射力，与引起它的投射能量之比，即,,'22(,,)cosd(,,2)(,)cosd(,,)cosdiirrrriiiiiiiirrrrII2/200(,,,)cossinddiirrrrrr4.某半无限大物体，物性参数为常数，内部无热源。初始温度分布均匀，为t0。当τ0时，边界受到恒热流q0的加热。试建立该物体非稳态导热问题的数学模型，并用拉普拉斯积分变换法进行求解。解：该问题的数学描述为：22000,0,0,0,0,0,,0ttaxxttxqtxxttx（7-1）引入过余温度，即0tt，则上述问题转化为220,0,00,0,0,00,,0axxxqxxx（7-2）对上式作拉氏变换得220d,0ddd0,saxxqxsx（7-3）解得302exp()qassxa（7-4）查拉氏变换得20(,)2exp42qaxxxxerfcxaaa（7-5）故2002exp42qaxxxtterfcxaaa（7-6）5.对非齐次边界条件的二维无内热源常物性稳态导热体，可以采用叠加法进行求解。试写出如图3所示问题的数学模型，并采用上述方法进行求解。解：该问题的数学描述为222212340,,,,aaaattxyxattxattybttybtt（8-1）令byyaxx','，则上述问题可转化为2222123402,0,2,0,aaaattxyxattxttybttytt（8-2）令t=t1+t2+t3+t4，t1，t2，t3和t4分别是以下定解问题的解22221111402,00,02,00,attxyxatxtybtytt（8-3）22222223202,00,02,0,0attxyxatxtybttyt（8-4）22223323302,00,2,00,0attxyxatxttybtyt（8-5）22224144402,0,02,00,0attxyxattxtybtyt（8-6）用分离变量法求解各个方程组，结果如下方程组（8-3）的解为：41121sh[(2')/2]sin'(1cos)sh(/)2amatmbyamtxmambaam方程组（8-4）的解为：32121sh('/2)sin'(1cos)sh(/)2amatmyamtxmambaam方程组（8-5）的解为：23121sh[(2')/2]sin'1cossh(/)2amatmaxbmmbtybmabbma方程组（8-6）的解为：14121('/2)sin'1cos(/)2amatshmxbmmbtybshmabbma因t=t1+t2+t3+t4故该问题的解为4131121sh[(2')/2](',')sin'(1cos)sh(/)221sh('/2)sin'(1cos)sh(/)21sh[(2')/2]sinsh(/)2amammatmbyamtxyxmambaamatmyamxmambaammaxbmbmab2112'1cos21('/2)sin'1cos(/)2aamatmbybmaatshmxbmmbybshmabbma6.试证明：圆管内充分发展流动的体积流量可表示为：0408ppLrVi7.分析讨论室内与外界通过玻璃窗的热交换过程。8.叙述非稳态导热分析的格林函数法的原理，并对下列方程及边界条件的导热问题采用格林函数法进行求解。一维平壁由初始温度分布F(x)和内热源qv(r,)=cg(x,)，平壁的一个边界维持绝热，边界受到热流f()的作用。该问题的数学描述为22,,0,0,0,0,0,00,,0ttagxxLxtFxxLtfxxtxLx9.试述投影法求解辐射换热角系数的基本原理，并推导由有限面积向空间微元面积的辐射角系数的求解公式。10.在稳态层流常物性管内充分发展流动过程中，设流速分布为u/um=[1-(r/r0)2]，其中um为管内平均流速，r0为管道半径，r为管内距中心线径向坐标。求管内阻力系数Cf,并求恒热流边界条件下的换热努谢尔特数Nu。11.写出正交坐标系中拉梅系数的定义式,并求出柱坐标和球坐标系中的拉梅系数。见书上P912.试用数量级分析方法证明：考虑能量耗散时，无内热源的常物性不可压缩流体掠过平壁的边界层能量方程为：222ppTTTuuvxycycy