空间平面及其方程

第五节一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角平面及其方程第八章zyxo0Mn①一、平面的点法式方程),,(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,),,(zyxM任取点法向量.量,),,(CBAnnMM000nMM则有故的为平面称nkji例1.求过三点,1M又)1,9,14(即1M2M3M解:取该平面的法向量为的平面的方程.利用点法式得平面的方程346231nn3121MMMM此平面的三点式方程也可写成0132643412zyx一般情况:过三点)3,2,1(),,(kzyxMkkkk的平面方程为说明:特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.1czbyax时,)0,,(cbabcax)(cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即0axyzab0a0c二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,,,000zyx则0000DzCyBxA显然方程②与此点法式方程等价,)0(222CBA②),,(CBAn的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.特殊情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=0表示•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示0DCzByAx)0(222CBA平行于y轴的平面;平行于z轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.,),,0(iCBn例2.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过x轴,0DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点)1,3,4(得化简,得所求平面方程三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为平面∏2的法向量为则两平面夹角的余弦为cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),,(1111CBAn),,(2222CBAn2121cosnnnn2特别有下列结论：21)1(0212121CCBBAA21//)2(212121CCBBAA),,(:),,(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn21nn21//nn2n1n2n1n因此有例4.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.解:设所求平面的法向量为,020CBA即的法向量,0CBA)0(0)1()1()1(2CzCyCxC约去C,得0)1()1()1(2zyx即02zyx0)1()1()1(zCyBxA)1,1,1(1M,)1,1,0(2M和则所求平面故方程为n21MMn且外一点,求例5.设222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd解:设平面法向量为),,(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d.0P,则P0到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd,),,(CBAn(点到平面的距离公式)xyzo0M解:设球心为求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx,1000zyx因此所求球面方程为000zyx,),,(0000zyxM四面体的球面方程.从而)(半径R例6.内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx)0(abc0212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn021nn,0:22222DzCyBxA),,(2222CBAn,0:11111DzCyBxA),,(1111CBAn)5,15,10(0)1(5)1(15)1(10zyx0632zyx求过点且垂直于二平面和的平面方程.)1,1,1(解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得),1,1,1(1n)12,2,3(2n21nnn练习题