高三数学解析几何解题技巧

1高三数学解析几何解题技巧解析几何是现在高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点。能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。在解决此类问题时的要点主要有：用运动观点看待条件；挖掘出其中隐含的几何量之间关系；用代数语言（通常即是方程或不等式）翻译几何量之间关系；注意根据题设条件分类讨论。其中对能力的要求主要体现在如何选择变量和合理的运算路径上。三种运算：坐标、向量和运用几何性质推理，如何选择？依据的不是必然的逻辑推理，而是根据经验获得的合情推理。解析几何的学科特征是“算”，它的第一步是把几何条件转化为代数语言，转换的桥梁大致有三类：①与线段长度有关，用距离公式；②与线段比有关的用向量、坐标之间关系转换；③与角度有关用斜率或用向量夹角公式处理。一经转化，解析几何问题就转化为方程或函数问题。如讨论一元二次方程根的情况，解方程组，求代数式的最大值或最小值等等。常见翻译方法：距离问题：距离公式212212)()(||yyxxAB几个特殊转换技巧：①若一条直线上有若干点，如DCBA,,,等，它们之间距离存在比例关系，如满足条件,||||||2BCCDAB则可根据它们分别在两坐标轴之间距离关系，利用平行直线分线段成比例之关系转换为坐标关系：,)(||||2CBDCBAxxxxxx当然也可转化为向量关系再转换为坐标关系等。②利用向量求距离。③角度问题：若条件表述为所目标角A是钝角、直角或锐角，则用向量转化为简洁，即ACAB的值分别是小于零、等于零或大于零。一般角度问题转化为向量夹角公式即：||||cosbaba④面积问题：主要是三角形面积公式：在OAB中（O是原点）)2())()((21sin21cbapcpbpappahCabSO||21||||||21222ABBAyxyxOBOAOBOA⑤特殊地，若三角形中有某条线段是定值，则可把三角形分解为两个三角形来分别求面积。如椭圆12222byax的左右焦点分别为,,21FF过左焦点直线交椭圆于),,(11yxA),,(22yxB则|||)||(|||2121212121212yycyyFFSSSFBFFAFABF⑥三点共线问题：一般来说，可直接写出过其中两点的直线方程，再把另一点的坐标代入即可，但在具体问题中，用两点之间斜率相等（有时是用向量共线，可不用讨论斜率存在情况）更合适。最后，针对广东高考命题特点，请同学们记住一句话：心中有数，不如心中有图，心中有图，不如会用图。【例题训练】1．（本小题满分14分）2给定椭圆),0(1:2222babyaxC称圆心在原点O，半径为22ba的圆是椭圆C的“准圆”，若椭圆C的一个焦点为),0,2(F其短轴上的一个端点到F的距离为.3(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程；(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线,,21ll使得21,ll与椭圆C都只有一个交点，且21,ll分别交其“准圆”于点M，N.①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求21,ll的方程；②求证：MN为定值.2．（本小题共14分）已知动圆过定点),0,1(且与直线1x相切．(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；(2)是否存在直线l，使l过点),1,0(并与轨迹C交于P，Q两点，且满足0OQOP？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.3．（本小题满分14分）已知椭圆,14:221yxC椭圆2C以1C的长轴为短轴，且与1C有相同的离心率．(1)求椭圆2C的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆1C和2C上，,2OAOB求直线AB的方程.参考答案1．解：(1)由题意得,2c3a，所以,1b故椭圆方程为,1322yx准圆的方程为422yx............................................................................2分(2)①当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，它的坐标为），（20由题意知直线21,ll的斜率均存在时，设其斜率分别为21,kk过点P的直线l的方程分别为2kxy联立方程组,13222yxkxy消去y得0912)31(22kxxk因为直线l与椭圆有且只有一个公共点，所以,036362k解得,1k..............................................4分不妨设,11k12k所以21,ll的方程分别为.2,2xyxy.......…………………5分②(i)当21,ll中有一条无斜率时，不妨设1l无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为3x或.3x3当1l的方程为3x时，1l与准圆交于点),1,3(),1,3(此时经过点)1,3(（或)1,3()且与椭圆只有一个公共点的直线是1y（或1y)，即2l为1y（或1y)，显然直线21,ll垂直，同理可证1l的方程为3x时，直线21,ll垂直.........................................8分(ii)21,ll都有斜率时，设点),,(00yxP其中.42020yx设经过点),(00yxP与椭圆只有一个公共点的直线为,)(00yxxty则)(130022txytxyyx消去y，得03)(3)(6)31(2000022txyxtxytxt0]3)(3)[31(4)](6[2002200txyttxyt化简，得.012)3(2000220ytyxtx................……………10分因为,42020yx所以.0)3(2)3(2000220xtyxtx设21,ll的斜率分别为,,21tt因为21,ll与椭圆都只有一个公共点，所以21,tt满足上述方程,0)3(2)3(2000220xtyxtx所以,121tt即1l与2l互相垂直...............................……………12分综合(i)、(ii)知：因为21,ll经过点),,(00yxP又分别交其准圆于点,,NM且21,ll垂直，所以线段MN为准圆422yx的直径，故.4||MN……………14分2.解：(1)如图，设M为动圆圆心，)0,1(F过点M作直线1x的垂线垂足为N，由题意知：||||MNMF……………2分即动点M到定点F与到定直线1x的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中)0,1(F为焦点，1x为准线，∴动圆圆心的轨迹方程为xy42…………5分(2)若直线l的斜率不存在，则与抛物线C相切，只有一个交点，不合题意；4若直线l的斜率为0，则与抛物线C相交，只有一个交点，不合题意；…………………………6分故设直线l的方程为)0(1kkxy由xykxy412得0442yky………8分1,01616kk且0k…………………9分设),,(),,(2211yxQyxP则,421kyy2222121116kyyxx……11分由0OQOP，即),,(),,(2211yxOQyxOP于是,02121yyxx…………………………………12分即,0142kk解得141k……………………13分∴直线l存在，其方程为141xy即044yx………………14分3．解：(1)由已知可设椭圆2C的方程为14222xay)2(a,其离心率为,23故,2342aa则,4a故椭圆2C的方程为141622xy.........................................................................5分(2)设),,(),,(2211yxByxA由,2OAOB得,212xx,212yy….....................6分由点A，B分别在椭圆1C和2C上，得,442121yx,1642222yx.........8分即442121yx①442121yx②................................................9分由①②得,8)(52121yx,582121yx代入①②得542121yx.......................................................................................10分得.111xy...............................................................................................………12分直线AB的方程为,0011xxxyy即xy或.xy.....................……14分