数学建模·中国GDP趋势分析和预测-2

基于多项式模型GDP趋势的预测与研究摘要：国内生产总值(GDP)是现代国民经济核算体系的核心指标，是衡量一个国家综合国力的重要指标。本文就1800年到2010年的生产总值(GDP)等相关统计数据，先建立了关于GDP的点点对应关系图形，大致观察出点点之间的变化趋势，之后预测出年份与GDP之间的关系函数为y=a*exp(x+b)。利用matlab软件对函数拟合求出相应的参数，从而预测了出在之后几年里的GDP的多少年的GDP总量。为了得到更好的预测结果，本文建立了指数模型。通过计算相关函数来衡量模型的可靠性和可用性。选取该指数模型，预计中国GDP将继续保持增长，不过增长率缓慢下降。猜想：GDP年增长率最后将趋于稳定。关键词：GDP；回归预测模型；指数模型Abstract：Grossdomesticproduct(GDP)isakeyindexofmodernsystemofnationaleconomicaccounting,isanimportantindicatortomeasureacountry'scomprehensivenationalstrength.Ourcountryin1800to2010grossdomesticproduct(GDP)andotherrelatedstatisticaldata,firstestablishedontheGDPbitcorrespondingrelationshipgraph,generallyobservedtrendsbetweenthepoints,thenpredicttherelationfunctionbetweenyearandGDPasY=a*exp(x+b).UsingMATLABsoftwaretofunctionfittingtocomputethecorrespondingparameters,canbepredictedintheyearsGDPyearsoftotalGDP.Inordertopredicttheresultsbetter,thispaperestablishedtheindexmodel.Reliabilityandavailabilitybycalculatingthecorrelationfunctiontomeasuremodel.Theselectionoftheindexmodel,isexpectedtoChineseGDPwillcontinuetomaintaingrowth,butgrowthrateslowdown.Guess:GDPannualgrowthrateofthestable.Keywords:GDP;regressionmodel;exponentialmodel1引言1.1研究的背景及意义国内生产总值(GrossDomesticProduct，简称GDP)是指在一定时期内(一个季度或一年)，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标。它不但可反映一个国家的经济表现，更可以反映一国的国力与财富。一般来说，国内生产总值共有四个不同的组成部分，其中包括消费、私人投资、政府支出和净出口额。用公式表示为：GDPCAICBX。式中：CA为消费、I为私人投资、CB为政府支出、X为净出口额。一个国家或地区的经济究竟处于增长抑或衰退阶段，从这个数字的变化便可以观察到。一般而言，GDP公布的形式不外乎两种，以总额和百分比率为计算单位。当GDP的增长数字处于正数时，即显示该地区经济处于扩张阶段；反之，如果处于负数，即表示该地区的经济进入衰退时期了。国内生产总值是指一定时间内所生产的商品与劳务的总量乘以“货币价格”或“市价”而得到的数字，即名义国内生产总值，而名义国内生产总值增长率等于实际国内生产总值增长率与通货膨胀率之和。因此，即使总产量没有增加，仅价格水平上升，名义国内生产总值仍然是会上升的。在价格上涨的情况下，国内生产总值的上升只是一种假象，有实质性影响的还是实际国内生产总值变化率，所以使用国内生产总值这个指标时，还必须通过GDP缩减指数，对名义国内生产总值做出调整，从而精确地反映产出的实际变动。因此，一个季度GDP缩减指数的增加，便足以表明当季的通货膨胀状况。如果GDP缩减指数大幅度地增加，便会对经济产生负面影响，同时也是货币供给紧缩、利率上升、进而外汇汇率上升的先兆。一国的GDP大幅增长，反映出该国经济发展蓬勃，国民收入增加，消费能力也随之增强。在这种情况下，该国中央银行将有可能提高利率，紧缩货币供应，国家经济表现良好及利率的上升会增加该国货币的吸引力。反过来说，如果一国的GDP出现负增长，显示该国经济处于衰退状态，消费能力减低时，该国中央银行将可能减息以刺激经济再度增长，利率下降加上经济表现不振，该国货币的吸引力也就随之而减低了。因此，一般来说，高经济增长率会推动本国货币汇率的上涨，而低经济增长率则会造成该国货币汇率下跌。例如，1995-1999年，美国GDP的年平均增长率为4.1%，而欧元区11国中除爱尔兰较高外(9.0%)，法、德、意等主要国家的GDP增长率仅为2.2%、1.5%和1.2%，大大低于美国的水平。这促使欧元自1999年1月1日启动以来，对美元汇率一路下滑，在不到两年的时间里贬值了30%。但实际上，经济增长率差异对汇率变动产生的影响是多方面的：一是一国经济增长率高，意味着收入增加，国内需求水平提高，将增加该国的进口，从而导致经常项目逆差，这样，会使本国货币汇率下跌。二是如果该国经济是以出口导向的，经济增长是为了生产更多的出口产品，则出口的增长会弥补进口的增加，减缓本国货币汇率下跌的压力。三是一国经济增长率高，意味着劳动生产率提高很快，成本降低改善本国产品的竞争地位而有利于增加出口，抑制进口，并且经济增长率高使得该国货币在外汇市场上被看好，因而该国货币汇率会有上升的趋势。国内生产总值（GDP）是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果。这个指标把国民经济全部活动的产出成果概括在一个极为简明的统计数字之中，为评价和衡量国家经济状况、经济增长趋势及社会财富的经济表现提供了一个最为综合的尺度，可以说，它是影响经济生活乃至社会生活的最重要的经济指标。对其进行的分析预测具有重要的理论与现实意义。1.2研究的趋势和发展现状GDP核算有三种方法，即生产法、收入法和支出法，三种方法从不同的角度反映国民经济生产活动成果。生产法是从生产的角度衡量常住单位在核算期内新创造价值的一种方法，即从国民经济各个部门在核算期内生产的总产品价值中，扣除生产过程中投入的中间产品价值，得到增加值。核算公式为：增加值=总产出-中间投入。收入法是从生产过程创造收入的角度，根据生产要素在生产过程中应得的收入份额反映最终成果的一种核算方法。按照这种核算方法，增加值由劳动者报酬、生产税净额、固定资产折旧和营业盈余四部分相加得到。支出法是从最终使用的角度衡量核算期内产品和服务的最终去向，包括最终消费支出、资本形成总额和货物与服务净出口三个部分。支出法核算GDP，就是从产品的使用出发，把一年内购买的各项最终产品的支出加总而计算出的该年内生产的最终产品的市场价值。这种方法又称最终产品法、产品流动法。从支出法来看，国内生产总值包括一个国家(或地区)所有常住单位在一定时期内用于最终消费、资本形成总额，以及货物和服务的净出口总额，它反映本期生产的国内生产总值的使用及构成。1.3本论文的主要内容本文以我国为例，建立数学模型，分析经济增长的内在特征。并对未来五年我国经济发展做出预测，为政府制定经济发展战略提供依据。ARIMA(p，d，q)模型是用于非平稳时间序列的建模方法，由美国统计学家Box和Jenkins于1970年首次提出。时间序列分析技术经过近几十年的发展，已经成为一门相对完整并且独立的学科，它通过对过去行为的建模来分析序列对当前的影响，而无需重复考虑影响序列的其他因素，即把影响预测目标变化的一切因素全部都由“时间”综合起来而加以描述。2多项式模型的建立2.1回归分析模型[1]2.1.1模型简介多项式回归模型为:NNxbxbxbby2210（1-1）将数据点(,)(1,2,...,)iixyin代入，有ininiiixbxbxbby...2210（i=0,1,...,n）(1-2)式中01,bb是未知参数，i为剩余残差项或随机扰动项，反映所有其他因素对因变量iy的影响。在运用回归方法进行预测时，要求满足一定的条件，其中最重要的是i必须具备如下特征：1、i是一个随机变量；2、i的数学期望值为零，即()0iE；3、在每一个时期中，i的方差为一常量，即2()iD；4、各个i间相互独立；5、i与自变量无关。大多数情况下，假定2(0,)iN。2.1.2一元线性回归模型建立的步骤建立一元线性回归模型分以下步骤：1、建立理论模型：针对某一因变量y，寻找适当的自变量，建立如（1-1）的理论模型2、估计参数：运用普通的最小二乘法或其他方法评估参数01bb和的值，建立如下的一元线性回归预测模型：ininiiixbxbxbbyˆ...ˆˆˆ2210（i=0,1,...,n）（1-2）这里01ˆˆbb和分别是01,bb的估计值。如果是采用最小二乘法估计01bb和的值，即时残差平方和（也称剩余平方和）3、进行检验：回归模型建立之后，能否用来进行实际预测，取决于它与实际数据是否有较好的拟合度，模型的线性关系是否显著等。为此，在实际用来测量之前，还需要对模型进行一系列评价检验。1）、标准误差标准误差是估计值与因变量值间的平均平方误差，其计算公式为：21ˆ()2niiiyySn（1-4）它可以用来衡量拟合优度。2）、判定系数2R判定系数2R是衡量拟合优度的一个重要指标，它的取值介于0与1之间，其计算公式为：22121ˆ()1()niiiniiyyRyy（1-5）2R越接近于1，拟合程度越好；反之越差。3）、相关系数相关系数是一个用于测定因变量与自变量之间线性相关程度的指标，其计算公式为12211()().()()niiinniiiixxyyrxxyy（1-6）相关系数r与判定系数2R之间存在关系式：2rR但两者的概念不同，判定系数2R用来衡量拟合优度，而相关系数r用来判定因变量与自变量之间的线性相关程度。相关检验要利用相关系数表，步骤如下：首先计算样本相关系数r值。然后根据给定的样本容量n和显著性水平a查相关系数表，得临界值ar，最后进行检验判断：,,aarrxrrx若则与y有显著的线性关系；若则与y的线性相关关系不显著4）、回归系数显著性检验回归系数的显著性检验可用t检验法进行，令111bbbtS（1-7）取显著性水平1()),abaPtttt若，则回归系数1b显著，此检验对常数项亦适用。5）、F检验统计量2121ˆ()ˆ()(2)niiniiiyyFyyn（1-8）服从(1,2)Fn分布，取显著性水平.FF若（1，n-2），则表明回归模型显著；如果(1,2)FFn，则表明回归模型不显著，改回归模型不能用于预测。6）、DW统计量DW统计量是用来检验回归模型的剩余项i之间是否存在自相关的一种十分有效的方法。21221()niiiniiDW（1-9）式中ˆiiiyy将利用式（1-9）计算而得到的DW值与不同显著性水平下的DW值之上限d和下限进行比较，来确定是否存在自相关。DW值应在04之间。根据经验，DW统计量的值在1.52.5之间时表示没有显著自相关问题。以上检验可利用统计软件包进行回归时同时完成4、进行预测：预测可分为点预测和区间预测两类，在一元线性回归中，所谓点预测，就是当给定0xx时，利用样本回归方程求出相应的样本拟合值0100xbby，以此作为因变量个别值0y和其均值)(0yE的估计。