§4空间图形的基本关系与公理(北师大版)

§4空间图形的基本关系与公理常常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于其邻边长2倍的平行四边形.αβ如果一个平面被另一个平面挡住，则这遮挡的部分用虚线画出来.几何里的平面是无限延展的.一、平面的概念与画法桌面黑板面平静的水面平面的形象ABCDα二、平面的表示法①平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表示如平面α、平面β、平面γ；②用表示平行四边形的四个顶点或两个相对顶点的字母来表示，如平面ABCD或平面AC、平面BD.1.空间点与直线的位置关系：①点在直线上②点在直线外AaBaABαabc2.空间点与平面的位置关系：①点在平面内②点在平面外记作：aA记作：Ba记作：Ba记作：AaBAa三、点、线、面的位置关系3.空间两条直线的位置关系：①平行直线——②相交直线——③异面直线——在同一个平面内，没有公共点的两条直线。在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线。不在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。ABαabcαbaβαbaγababα记作：a//bbβaO记作：Oba4空间直线与平面的位置关系：直线a与平面α有无数多个公共点1、直线在平面内直线与平面只有一个公共点2、直线与平面相交Aαa记作：a∩α=A直线与平面没有公共点3、直线与平面平行αaαa直线在平面外记作：a记作：a//（2）两个平面相交——两个平面不重合，并且有公共点5空间平面与平面的位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点的两个平面α记作：//平面平面记作：直线a平面平面a1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打，否则打:1、一个平面长4米，宽2米；()2、平面有边界；()3、一个平面的面积是25cm2；()4、菱形的面积是4cm2；()5、一个平面可以把空间分成两部分.()练习√×2、图中平面α与平面β是否为同一平面？αβαβαβ不是是不是练习观察下图，你能得到什么结论？ABC四：4个公理图形语言符号语言公理1经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.注解：1经过一点、两点或同一条直线上的三点有无数个平面。2有：指图形存在。3且只有：指图形唯一。文字语言公理作用BCA不在同一条直线上的三点A、B、C⇒有且只有一个平面α，使A∈面α，B∈面α，C∈面α一、确定平面的依据二、判断点线共面得依据.（1）经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？αCLAB（2）经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？abαCAB(3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？aCBbAα思考交流公理2的三个推论推论1经过一条直线和直线外一点唯一确定一个平面.推论2经过两条相交直线唯一确定一个平面.推论3经过两条平行直线唯一确定一个平面.作用：确定平面的依据ABl图形语言符号语言公理2:如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).文字语言公理作用一是判定直线在平面内的依据，即要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点在平面内即可；也是判定点在平面内的方法，即如果直线在平面内,点在直线上，则点在平面内.二是检验平面的方法一、判定线在面内或点在面内的依据二、检验平面图形语言符号语言公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条通过这个点的公共直线.注解：不重合的两个平面相交，交线是条直线。文字语言公理作用Pl.PPlPl且且（1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线；（2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上.一、判定两个平面相交的依据二、判定点在线上的依据平面几何：三条直线，a//b,b//c⇒a//c,在立体几何此结论是否成立？abc图形语言符号语言文字语言公理4平行于同一条直线的两条直线平行.注解：三条直线a，b，c，可以在同一平面内，也可能两两共面。cacbba////,//注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到立体几何．平行公理等角定理及异面直线所成的角问题1：在平面内，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或者互补.在空间中成立吗？等角或补角定理：在空间中如果两个角的两边分别对应行，那么这两个角相等或互补.观察:如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC与∠A1D1C1,∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?D1C1B1A1CABD从图中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180O问题2：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?1bb定义：直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。平移法如果两条异面直线所成的角为直角，那么就称这两条异面直线垂直。ba'ao900异面直线a和b所成的角的范围：ba⑴作异面直线夹角时，夹角的大小与点O的位置有关吗?点O的位置怎样取才比较简便?与O的位置无关,为了方便点O可取特殊点(如a或b上)；⑵异面直线所成的角的范围是多少?⑶两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?不一定⑷异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?平移法o900思考：空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图中的两种空间四边形ABCD和ABOC.空间四边形：四个顶点不在同一个平面内的四边形空间四边形的有关概念：（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形；（2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；（3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；（4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线例1在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.ABCDEHFG证明：如图，连结BD。因为FG是ΔCBD的中位线，所以FG//BD，.21BDFG。，所以BDEHBDEH21//又因为EH是ΔABD的中位线根据公理4，FG//EH，且FG=EH。所以，四边形EFGH是平行四边形。理论迁移例2如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）A、平行B、相交且垂直C、异面直线D、相交成60°ABDCCB(D)A理论迁移练习1：根据下列条件作图：(1)A∈，a，A∈a；(2)a，b，c，且a∩b＝A，b∩c＝B，c∩a=C.≠≠≠≠（7）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（6）两两相交的三条直线确定一个平面（5）三条平行直线可以确定三个平面（4）一条直线和一个点可以确定一个平面练习2：判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面（3）两条相交直线可以确定一个平面（2）两条直线可以确定一个平面下列结论正确的是（）A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C.空间四边形的两条对角线可以相交D.空间四边形的两条对角线不相交D练习4练习3：列图形中不一定是平面图形的（）A、三角形B、菱形C、梯形D、四边相等的四边形D