空间图形的基本关系与公理(2)

14.2空间图形的公理§4空间图形的基本关系与公理2观察下图，你能得到什么结论？桌面BA知识探究：平面的基本性质13ABl图形语言符号语言公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).知识探究：平面的基本性质1文字语言公理作用一是判定直线在平面内的依据，即要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点在平面内即可；也是判定点在平面内的方法，即如果直线在平面内、点在直线上，则点在平面内.二是检验平面的方法一、判定线在面内或点在面内的依据二、检验平面4知识探究（二）：平面的基本性质2观察下图，你能得到什么结论？ABC5图形语言符号语言公理2经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.知识探究（二）：平面的基本性质2文字语言公理作用BCA不在同一条直线上的三点A、B、C⇒有且只有一个平面α，使A∈面α，B∈面α，C∈面α一、确定平面的依据二、判断点线共面得依据.6（1）经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？αCLAB（2）经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？abαCAB(3)经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？aCBbAα思考交流7公理2的三个推论推论1经过一条直线和直线外一点唯一确定一个平面.推论2经过两条相交直线唯一确定一个平面.推论3经过两条平行直线唯一确定一个平面.作用：确定平面的依据8观察下图，你能得到什么结论？P天花板墙面墙面Pa知识探究：平面的基本性质39图形语言符号语言公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条通过这个点的公共直线.文字语言公理作用知识探究：平面的基本性质3Pl.lPlPP且且（1）判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线；（2）判定点在直线上的依据，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上.一、判定两个平面相交的依据二、判定点在线上的依据10问题：在平面内的三条直线，a//b,b//c⇒a//c,在空间此结论是否成立？举例说明知识探究：平面的基本性质4abc图形语言符号语言文字语言公理作用公理4平行于同一条直线的两条直线平行.cacbba////,//注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间．既是证明“等角定理”的基础，是以后证明平行关系的主要依据之一平行公理11知识点一点、线共面例1已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：过a、b、l有且只有一个平面．分析由题目可获取以下主要信息：①两线平行；②第三条线与它们都相交．解答本题可先思考让其中部分元素定面．再证其余元素也在面内．知识探究:公理定理的简单应用点评证明多线共面的方法是先由公理2确定一个平面，再利用公理1依次证明其余各线也在这个平面内．12证明多点共线问题例2已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．分析解答本题可先证明P，Q，R三点在面ABC内，又在面α内，再利用公理3从而证得三点共线．知识探究:公理定理的简单应用证明∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．点评证明多点共线的方法：利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．13空间四边形的有关概念：（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形；（2）四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；（3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；（4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。14如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线15空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图中的两种空间四边形ABCD和ABOC.16知识探究:等角定理及异面直线所成的角问题1：在平面内，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或者互补.在空间中成立吗？举例说明观察下图等角或补角定理：在空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.17知识探究:等角定理及异面直线所成的角问题2：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?18思考：⑴作异面直线夹角时，夹角的大小与点O的位置有关吗?点O的位置怎样取才比较简便?⑵异面直线所成的角的范围是多少?⑶两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?⑷异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想?19例1在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.ABCDEHFG证明：如图，连结BD。因为FG是ΔCBD的中位线，所以FG//BD，.21BDFG。，所以BDEHBDEH21//又因为EH是ΔABD的中位线根据公理4，FG//EH，且FG=EH。所以，四边形EFGH是平行四边形。理论迁移20例2如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）A、平行B、相交且垂直C、异面直线D、相交成60°ABDCCB(D)A理论迁移21当堂练习1：根据下列条件作图：(1)A∈，a，A∈a；(2)a，b，c，且a∩b＝A，b∩c＝B，c∩a=C.≠≠≠≠22（7）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（6）两两相交的三条直线确定一个平面（5）三条平行直线可以确定三个平面（4）一条直线和一个点可以确定一个平面当堂练习2：判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面（3）两条相交直线可以确定一个平面（2）两条直线可以确定一个平面当堂练习3：列图形中不一定是平面图形的（）A、三角形B、菱形C、梯形D、四边相等的四边形23下列结论正确的是（）A.若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C.空间四边形的两条对角线可以相交D.空间四边形的两条对角线不相交D当堂练习424如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB,BC的中点，求证：EF∥A1C1.FEABCC1B1D1A1D当堂练习5