三角恒等变换(附答案)

教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter第1页/共9页姓名学生姓名填写时间学科数学年级高三教材版本人教版阶段第（9）周观察期：□维护期：□课题名称三角恒等变换课时计划第（）课时共（）课时上课时间教学目标大纲教学目标1、巩固两角和、差的正弦、余弦和正切及二倍角公式2、推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.3、掌握三角函数图像变换方法，能由图像求三角函数解析式个性化教学目标学生知识点综合能力的训练教学重点1、两角和差的正弦、余弦及正切及二倍角公式的灵活应用2、掌握三角函数图像变换方法，能由图像求三角函数解析式教学难点1、两角和差的正弦、余弦及正切及二倍角公式的灵活应用2、掌握三角函数图像变换方法，能由图像求三角函数解析式教学过程一、回顾公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β．cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β．tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ．2．二倍角的公式sin2α＝2sin__αcos__α．cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．tan2α＝2tanα1－tan2α．3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β)．(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2．(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.第一部分：知识点分析教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter第2页/共9页4．归一公式函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tanφ＝ab.二、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.x－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter第3页/共9页当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．高频考点一归一公式应用例1：（1）31sincos22xx；⑵3sincosxx；⑶315sin35cosxx；⑷26sin()cos()6363xx．【变式练习1】（1）22(sincos)2cosyxxx。①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值（2）已知函数25()5sincos53cos32fxxxx（其中xR），求：①函数()fx的最小正周期;②函数()fx的单调区间;③函数()fx图象的对称轴和对称中心．（3）设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω0)的最小正周期为2π3.①求ω的值；第二部分：考点分析教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter第4页/共9页②若函数y＝g(x)的图像是由y＝f(x)的图像向右平移π2个单位长度得到的，求y＝g(x)的单调增区间．[解析](1)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋2，依题意得2π2ω＝2π3，故ω的值为32.(2)依题意得g(x)＝2sin3x－π2＋π4＋2＝2sin3x－5π4＋2，由2kπ－π2≤3x－5π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得23kπ＋π4≤x≤23kπ＋7π12(k∈Z)，故y＝g(x)的单调增区间为23kπ＋π4，23kπ＋7π12(k∈Z)．高频考点二三角函数式的化简与给角求值【例2】（1）1sin822cos8=_____________________（2）若223，则2cos21212121等于（）（A）2sin（B）2cos（C）2cos（D）2cos(3)已知3cos45x，177124x，求2sin22sin1tanxxx值(4)已知α∈(0，π)，化简：（1＋sinα＋cosα）·（cosα2－sinα2）2＋2cosα＝________．(5)[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°＝______．【答案】(4)cosα(4)6【解析】(1)原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2·cosα2－sinα24cos2α2＝cosα2cos2α2－sin2α2cosα2＝教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter第5页/共9页cosα2cosαcosα2.因为0＜α＜π，所以0＜α2＜π2，所以cosα2＞0，所以原式＝cosα.(2)原式＝2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝(2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°)·2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.【点拨】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．【变式练习2】(1)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1(2)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β＝________．【答案】(1)C(2)12【解析】(1)原式＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter第6页/共9页2sin（120°－40°）－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝3，故选C.(2)法一(从“角”入手，复角化单角)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－12＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.法二(从“名”入手，异名化同名)原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－12cos2αcos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2αcos2β＝cos2β－cos2β(sin2α＋12cos2α)＝1＋cos2β2－12cos2β＝12.法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos2α2·1－cos2β2＋1＋cos2α2·1＋cos2β2－12cos2α·cos2β＝14(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋14(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－12cos2α·cos2β＝14＋14＝12.法四(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式＝(sinαsinβ－cosαcosβ)2＋2sinαsinβ·cosαcosβ－12cos2αcos2β＝cos2(α＋β)＋12sin2α·sin2β－12cos2α·cos2β教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter第7页/共9页＝cos2(α＋β)－12cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－12[2cos2(α＋β)－1]＝12.高频考点三三角函数的给值求值、给值求角【例3】（1）已知4sin5，5,,cos,213是第三象限角，求cos的值.（2）已知sin(30°＋α)＝35，60°α150°，求cosα的值．(3)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(4)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．【答案】（2）3－4310(3)－239729；(4)－3π4.【解析】（2）方法二：把30°＋α看作整体，可求cos(30°＋α)的值．∵60°α150°，∴90°30°＋α180°.∵sin(30°＋α)＝35，∴cos(30°＋α)＝－45.∴sin(30°＋α)＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝12cosα＋32sinα＝35，①cos(30°＋α)＝cos30°·cosα－sin30°·sinα＝32cosα－12sinα＝－45.②由①②，得cosα＝3－4310.(3)∵0βπ2απ，∴π4α－β2π，－π4α2－βπ2，∴sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β教学设计方案XueDaPPTSLearningCenter第8页/共9页＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(4)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12－171＋12×17＝130，又α∈(0，π)．∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.【点拨】(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝α－β2－α2－β；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0