空间图形的基本关系与公理[习题与答案]

1空间图形的基本关系与公理课后作业一、选择题1．下列四个命题：①分别在两个平面内的两条直线是异面直线②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条③和两条异面直线都相交的两条直线必异面④若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线其中是真命题的个数为()A．3B．2C．1D．02．以下命题中：①点A，B，C∈直线a，A，B∈平面α，则C∈α；②点A∈直线a，a⊄平面α，则A∈α；③α，β是不同的平面，a⊂α，b⊂β，则a，b异面；④三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤空间有四点不共面，则这四点中无三点共线．真命题的个数为()A．0B．1C．2D．33．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为()A.510B.1010C.55D.1055．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为()A.13B.23C.33D.23二、填空题6．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定________个平面．7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E，F两点，则四边形EBFD1的形状为________．8．P是直线a外一定点，经过P且与直线a成30°角的直线有________条．三、解答题9.如右图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形；(3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．10.如右图所示，已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面AC，且PA＝AD＝AB＝1，BC＝2.(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小．参考答案21．D2．解析：只有①⑤为真命题．答案：C3．B4．解析：连结D1C，EC，用余弦定理解三角形可以求得答案．答案：B5．解析：连接AC、BD交于O，连接OE，因OE∥SD.所以∠AEO为所求．设侧棱长与底面边长都等于2，则在△AEO中，OE＝1，AO＝2，AE＝22－1＝3，于是cos∠AEO＝()32＋12－222×3×1＝13＝33.答案：C6．77.平行四边形8．解析：无数条，它们组成一个以P为顶点的圆锥面．答案：无数9．解析：(1)证明：在△ABC中，E，F分别是边AB，BC中点，所以EF∥AC，且EF＝12AC，同理有GH∥AC，且GH＝12AC，∴EF∥GH且EF＝GH，故四边形EFGH是平行四边形；(2)证明：仿(1)中分析，EH∥BD且EH＝12BD，若AC＝BD，则有EH＝EF，又因为四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．(3)由(2)知，AC＝BD(四边形EFGH是菱形，欲使EFGH是正方形，还要得到∠EFG＝90°，而∠EFG与异面直线AC，BD所成的角有关，故还要加上条件AC⊥BD.∴当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．10．解析：(1)因为PA⊥平面AC，AB⊥BC，∴PB⊥BC，即∠PBC＝90°，由勾股定理得PB＝PA2＋AB2＝2.∴PC＝PB2＋BC2＝6.(2)如右图所示，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连结PE，则∠PCE为异面直线PC与BD所成的角或它的补角．∵CE＝BD＝2，且PE＝PA2＋AE2＝10.∴由余弦定理得cos∠PCE＝PC2＋CE2－PE22PC·CE＝－36.∴PC与BD所成角的余弦值为36.