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12008年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2008•天津）设集合U={x∈N|0＜x≤8}，S={1，2，4，5}，T={3，5，7}，则S∩（CUT）=（）A．{1，2，4}B．{1，2，3，4，5，7}C．{1，2}D．{1，2，4，5，6，8}【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．菁优网版权所有【分析】根据集合补集和交集的运算规则直接求解．【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}，CUT={1，2，4，6，8}，所以S∩（CUT）={1，2，4}，故选A【点评】本题考查集合的基本运算，属简单题．2．（5分）（2008•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，zmax=5，故选D．2【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．3．（5分）（2008•天津）函数（0≤x≤4）的反函数是（）A．y=（x﹣1）2（1≤x≤3）B．y=（x﹣1）2（0≤x≤4）C．y=x2﹣1（1≤x≤3）D．y=x2﹣1（0≤x≤4）【考点】反函数．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据反函数的定义，直接求函数（0≤x≤4）的反函数．【解答】解：当0≤x≤4时，，解；即f﹣1（x）=（x﹣1）2，故选A．【点评】本题考查反函数的求法，注意函数的定义域，考查计算能力，是基础题．4．（5分）（2008•天津）若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=（）A．12B．13C．14D．15【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解出a1，d，然后代入通项公式求解即可．【解答】解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a7=1+6×2=13，故选B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．5．（5分）（2008•天津）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．【解答】解：A、B、D的反例如图．故选C．【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．36．（5分）（2008•天津）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈RB．，x∈RC．，x∈RD．，x∈R【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有【专题】常规题型．【分析】根据左加右减的性质先左右平移，再进行ω伸缩变换即可得到答案．【解答】解：由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin（2x+）故选C【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平移变换时注意都是对单个的x或y来运作的．7．（5分）（2008•天津）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．菁优网版权所有【专题】计算题；分析法．【分析】先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在x轴，然后对选项进行验证即可得到答案．【解答】解：∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由排除D，故选B【点评】本题主要考查抛物线焦点的求法和椭圆的基本性质．圆锥曲线是高考的必考内容，其基本性质一定要熟练掌握．48．（5分）（2008•天津）已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有【分析】已知分段函数f（x）求不等式f（x）≥x2的解集，要分类讨论：①当x≤0时；②当x＞0时，分别代入不等式f（x）≥x2，从而求出其解集．【解答】解：①当x≤0时；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；②当x＞0时；f（x）=﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故选A．【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法，在解答的过程中运用的分类讨论的思想，是一道比较基础的题目．9．（5分）（2008•天津）设，，，则（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c【考点】正弦函数的单调性；不等式比较大小；余弦函数的单调性；正切函数的单调性．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】把a，b转化为同一类型的函数，再运用函数的单调性比较大小．【解答】解：∵，b=．而＜，sinx在（0，）是递增的，所以，故选D．【点评】此题考查了三角函数的单调性以及相互转换．10．（5分）（2008•天津）设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=3，这时a的取值集合为（）A．{a|1＜a≤2}B．{a|a≥2}C．{a|2≤a≤3}D．{2，3}【考点】幂函数的实际应用．菁优网版权所有5【专题】压轴题．【分析】先由方程logax+logay=3解出y，转化为函数的值域问题求解．【解答】解：由logax+logay=3，可得loga（xy）=3，得，在[a，2a]上单调递减，所以，故⇒a≥2故选B．【点评】本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大．注意函数和方程思想的应用．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2008•天津）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工10人．【考点】分层抽样方法．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】本题是一个分层抽样，根据单位共有职工200人，要取一个容量为25的样本，得到本单位每个职工被抽到的概率，从而知道超过45岁的职工被抽到的概率，得到结果．【解答】解：本题是一个分层抽样，∵单位共有职工200人，取一个容量为25的样本，∴依题意知抽取超过45岁的职工为．故答案为：10．【点评】本题主要考查分层抽样，分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法．12．（4分）（2008•天津）的二项展开式中，x3的系数是﹣10．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第r+1项，令x的指数为3得解．【解答】解：Tr+1=，令5﹣2r=3得r=1，所以x3的系数为（﹣2）1•C51=﹣10．故答案为﹣10【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．613．（4分）（2008•天津）若一个球的体积为，则它的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．【解答】解：由得，所以S=4πR2=12π．【点评】本题考查学生对公式的利用，是基础题．14．（4分）（2008•天津）已知平面向量=（2，4），=（﹣1，2）．若==8．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据所给的两个向量的坐标，得到两个向量的数量积，列出关于的坐标的关系式，利用坐标形式的向量的加减和数乘运算得到要求的向量，利用求模长的公式得到结果．【解答】解：∵=（2，4），=（﹣1，2），∴=﹣2+8=6，∴=（2，4）﹣6（﹣1，2）=（8，﹣8），∴||==8．故答案为：8【点评】本题考查坐标形式的向量的数量积和向量的减法和数乘运算，以及向量的模长运算，是一个基础题，在解题时主要应用向量的坐标形式，这样题目变成简单的数字的运算．15．（4分）（2008•天津）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为x2+（y+1）2=18．【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和b即可；再求半径，根据垂径定理得到|AB|、圆心到直线AB的距离及圆的半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为﹣1即=﹣1化简得a+b+1=0①，再根据CP的中点在直线y=x+1上得到=+1化简得a﹣b﹣1=0②7联立①②得到a=0，b=﹣1，所以圆心的坐标为（0，﹣1）；圆心C到直线AB的距离d==3，|AB|=3所以根据勾股定理得到半径，所以圆的方程为x2+（y+1）2=18．故答案为：x2+（y+1）2=18【点评】此题是一道综合题，要求学生会求一个点关于直线的对称点，灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数学问题．会根据圆心和半径写出圆的方程．16．（4分）（2008•天津）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有432种（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，分析可得，数字之和为10的情况有4，4，1，1；4，3，2，1；3，3，2，2；再依次求得每种情况下的排法数目，进而由加法原理，相加可得答案．【解答】解：数字之和为10的情况有4，4，1，1；4，3，2，1；3，3，2，2；取出的卡片数字为4，4，1，1时；有A44种不同排法；取出的卡片数字为3，3，2，2时；有A44种不同排法；取出的卡片数字为4，3，2，1时；每个数字都有两种不同的取法，则有24A44种不同排法；所以共有2A44+24A44=18A44=432种不同排法．【点评】本题考查排列的应用，解题时注意数字可能来自一种卡片还是两种卡片．三、解答题（共6小题，满分76分）17．（12分）（2008•天津）已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】（1）先用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简，进而根据函数的最小正周期求得ω．（2）根据正弦函数的性质可知时，函数取最大值2+，进而求得x的集