将军饮马问题

1将军饮马问题探索1：如图，在l上找一点P，使PAPB最小.lBAP′PlBA【解析】直线AB与l的交点即为所求点P，PAPB最小值为AB.探索2：如图，在l上找一点P，使PAPB最小.ABlPlB'BA【解析】做点B关于直线l的对称点'B,直线'AB与l的交点即为所求点P，PAPB最小值为'AB.【备选1】模型应用：⑴如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小；⑵如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，在AC上找一点P，使PB+PE的值最小；⑶如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；⑷如图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．图4图3图2图1PDCBAOPCBAPEDCBAPEDCBA【解析】⑴作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为223BCBE；⑵连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是225ADAE；⑶作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°，∴∠A′OC=120°，作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°，∵OA′=OA=2，A′D=3，∴A′C=23⑶如图4，首先过点B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，连接DB′并延长交AC于P，由AC是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD．B'DA'图4图3图2图1PDCBAOPCBAPEDCBAPEDCBA【备注】此题涉及部分勾股定理内容，程度好的班级教师可适当进行拓展，程度一般的班级可跳过计算，会画图即可．探索3：如图，在l上找一点P，使PAPB最大.ABlAPBP′l【解析】直线AB与l的交点即为所求点P，PAPB最大值为AB.．探索4：如图，在l上找一点P，使PAPB最大.ABllB'PBA【解析】做点B关于直线l的对称点'B,直线'AB与l的交点即为所求点P，PAPB最大值为AB.3探索5：如图，在l上找一点P，使PAPB最小.ABllAPB【解析】直线AB的中垂线与l的交点即为所求点P，PAPB最小值为0.探索6：如图，点P在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使PCD△的周长最小.POBAPP2P1ODCBA【分析】做点P关于直线OA、OB的对称点1P、2P，12PP与直线OA、OB的交点为所求点C、D.△PCD的周长最小值为P1P2的长度．【备选2】已知如图所示，40MON，P为MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当PAB△的周长取最小值时，APB的度数为．【解析】分别作点P关于ON、OM的对称点P、P，连接OP、OP、PP，显然PAB△的周长PAABPBPBABPA，由两点间线段最短，故PAB△的最小周长为PP，∵40MON∠，OPOPOP，∴POP△是等腰三角形，此时∠OPP=∠OPP=50°∴角∠APB=∠OPP+∠OPP=100°．NPBMOAP''P'PBANOM探索7：如图，点P在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使PDCD最小.ABOPP′PDCOBA【解析】做点P关于直线OB的对称点'P、过'P向直线OA作垂线、与OB的交点为所求点D，垂足即为点C．PD+CD的最小值为P’C的长度．【备选3】如图，在锐角三角形ABC中，BC=42，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．【解析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC=42，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=4，故CM+MN的最小值为4．EN'M'ABCDNMMNDCBA探索8：如图，点C、D在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点F，在OA边上求作一点E，使四边形CEFD周长最小.ODCBAC′D′FEODCBA5【解析】如图所示，作C、D两点分别关于直线OA、OB的对称点CD、，连接CD、分别交OA、OB于EF、，点E、F即为所求．【备选4】在∠MON的两边上分别找两点P、Q，使得AP+PQ+QB最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）PQB'A'OMNBAABNMO探索9：如图，直线l外有两点A、B，有一定长线段a，在直线上找到点M、N,使得MN间的距离等于定长a，使得四边形AMNB的周长最小.B'A'aNMBAl【解析】如图所示，将点A向右平移a个长度到点'A,做点B关于直线l的对称点'B,连接''AB后交直线l于点N,过点A作''AMAB∥,交直线l于点M，四边形AMNB即为所求.【备选5】⑴如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小．①在图1中作出点P．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）②请直接写出△PDE周长的最小值．⑵如图2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出四边形CGEF周长的最小值．aBAl图1图2图2图1HMGFEDCBAPDECD'BAGDCBAEDCBA【解析】⑴①如图1所示：②8；⑵如图2，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=1，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF=1，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．CCGEFGEEFFCGCMHCGEF四边形∵AB=4，BC=6，G为边AD的中点，∴DG=AG=AM=3，∴MH=2239310，CG=22345∴C6310CGEF四边形．探索10：如图，在一组平行线l1、l2两侧各有两点A、B，在l1、l2间找一条线段MN,使MN⊥l1并且使得AM+MN+NB之和最短．N'M'A'l2BNMAl1NMBAl2l1【备选6】如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？CABDD'C'EE'FGE'EC'D'DBAC【解析】作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，7连接GF，与河岸相交于E′、D′．作DD′、EE′即为桥．证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′，同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小；即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短．距离为2265-5+85-552110米．典题精练【例1】如图，30AOB∠，点P位于AOB∠内，3OP，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，求PMN△的最小周长．NMPBAOP''P'OABPMN【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点P、P，连接OP、OP、PP，显然PMN△的周长PMMNPNPMMNPN，由两点间线段最短，PMMNPNPP≥，故PMN△的最小周长等于PP的长，∵30AOB∠，∴'60POP，又∵3OPOPOP，∴POP△是等边三角形，∴3PP，即PMN△的最小周长为3．巅峰突破【例2】如图1，OP是MON的角平分线，请利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考构造全等三角形的方法，解答下列问题：⑴如图2，在ABC△中，ACB是直角，60B，ADCE、分别是BACBCA、的角平分线，ADCE、相交于点F．请你判断写出FE与FD之间的数量关系；⑵如图3，在ABC△中，如果ACB不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由．图3图2图1PNMOABCDEFFEDCBA4321图4GFEDCBA图5HGABCDEF【解析】图略．⑴FE与FD之间的数量关系为FEFD⑵⑴中的结论FEFD仍然成立．证法一：如图4，在AC上截取AGAE，连接FG．∵12，AF为公共边，∴AEFAGF△≌△，∴AFEAFGFEFG，．∵60B，AD、CE分别是BACBCA、的平分线，∴2360，∴60AFECFDAFG，∴60CFG．∵34，且FC为公共边，可得CFGCFD△≌△，∴FGFD，∴FEFD．证法二：若CA，如图5，过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点H∵60B，且ADCE、分别是BACBCA、的平分线，∴2360，FGFH，∴601GEF．∵1HDFB，∴GEFHDF，∴EGFDHF△≌△，∴FEFD．12349复习巩固题型一角平分线的常见辅助线模型（二）巩固练习【练习1】如图所示，在RtABC△中，90C°，BD是ABC的平分线，交AC于D点，若CDn，ABm，则ABD△的面积是．【解析】2mn（提示：过D作AB垂线）【练习2】在ABC△中，AD平分BAC，CDAD，D为垂足，G为BC的中点，求证：DGCB．ACDGBACDEGB【解析】延长CD交AB于E，则得ADCADE△≌△，所以D为EC中点，所以DGAB∥，所以DGCB【练习3】⑴如图1所示，在ABC△中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的角平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证:1()2MFACAB.⑵如图2所示，将⑴中AD改成BAC的外角平分线，其它条件不变，则⑴中结论是否依然成立？成立请证明；若不成立，请说明理由．图1BMFDCA图2CBMFDACDBA【解析】⑴如图3所示，延长AB、CF相交于点E，在AFE△和AFC△中，EAFCAF，AFAF，AFEAFC，故AFEAFC△≌△，从而AEAC，EFFC.而CMMB，故MF是CBE△的中位线，从而111222MFBEAEABACAB．⑵不成立．理由如下：如图4所示，延长CF交BA延长于E点易证AEFACF△≌△，∴EFCF，即F点为CE中点∵M是BC中点,∴111222MFBEBAAEBAAC．【练习4】如图所示，在ABC△中，100A，40ABC，BD是ABC的平分线，延长BD至E，使DEAD．求证：BCABCEEDCBAFEDCBA【解析】在BC上取一点F，使得BFBA易证得ABDFBD△≌△，∴DFAD，又∵DADE，∴DFDE∵100A，40ABC，∴ABAC∵BD平分ABC，∴20ABD∴60ADBFDB∵60CDEADB∴60FDCEDC，∴DCFDCE△≌△∴FCEC，∴BCBFFCABCE图3ACDEFMB图4ADEFMBC11题型二将军饮马问题巩固练习【练习5】已知ABC△的顶点坐标分别为A(0，2)，B(2，0)，C(1，0)，O是坐标原点.试在AB和AC边上分别找一点D、E，使DOE△的周长最短.画出点D、E两点的位置图形，简述作图方法.yCOxBAO2O1EDyCOxBA【解析】作点O关于线段AB、AC的对称点1O