浅谈一元函数极限的求解方法.

1浅谈一元函数极限的求解方法专业名称：班级：学生姓名：指导教师：完成时间：2目录内容摘要...........................................................3关键词.............................................................3Abstract...........................................................3KeyWords..........................................................30引言..........................................................41一元函数极限的基本概念..........................................41.1一元函数极限的定义...........................................41.2一元函数极限的性质..........................................52求一元函数极限极限的方法.........................................52.1利用定义求极限..............................................52.2利用单侧极限求极限..........................................72.3利用双侧极限................................................72.4利用迫敛性定理求极限.........................................82.5利用两个重要极限...........................................82.6利用函数极限的四则运算求极限................................92.7利用洛必达法则............................................102.8用单调有界原理求极限.......................................122.9利用柯西准则求极限.........................................122.10利用等价无穷小量代替求极限................................132.11利用函数连续性求极限......................................142.12用导数定义求极限..........................................142.13利用中值定理求极限.........................................15结束语............................................................17参考文献..........................................................17致谢..............................................................193内容摘要：本文简单介绍了一元函数极限的基本概念及其性质并系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量、泰勒公式、洛必达法则、迫敛法则、四则运算法则、双侧极限、综合方法等9种常用求一元函数极限的方法,并结合实际问题对各个方法进行了详细的举例说明.关键词：极限;方法;函数;泰勒公式Abstract:Thispaperbrieflyintroducesthebasicconceptoflimitofbinaryanditspropertiesareintroducedinasystematicwayusingthedefinition,twoimportantlimits,infinitesimal,Taylorformula,L’HospitalRule,forcedconvergencerule,fourarithmeticoperations,bilaterallimit,thesyntheticmethodofninekindsofcommonlyusedforalimitofbinaryfunctionmethod,andthecombinedwiththepracticalproblemsofvariousmethodsweredetailedexamples.KeyWords:limit;method;function;Taylorformula40引言高等数学是以函数为研究对象,以极限理论和极限方法为基本方法,以微积分学为主要内容的一门学科,极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位.高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化,如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的,离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值,因此极限运算是高等数学的基本运算.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限,又由于极限运算分布于整个高等数学的始终,许多重要的概念是由极限定义的.极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具.反过来,我们也可以利用这些概念来求一些极限,所以运算方法繁多.针对这种情况,本文通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法.1一元函数极限的基本概念1.1一元函数极限的定义(1)函数()fx在点xa的空心邻域0)Ua（有定义,A是一个确定的数,若对0,存在0,使得当0xa时,都有()fxA,则称x趋向于a时极限存在,且以A为极限,记作(lim)xafxA.(2)函数()fx是()U(或()U或()U)上的函数,A是一个确定的数,若0,总存在0M,使得当xM（或xM或XM）时,都有()fxA,则称函数()fx当x趋于（或或）时极限存在,并以A为极限,记为+lim()xfxA（或lim()xfxA或lim()xfxA.(3)若函数()fx在0'(,)Ua（或0'(,)Ua）内有定义,A是一个确定的常数,若0,总存在0,使当axa(或axa)时,都有()fxA,则称函数()fx在x趋于a(或a)时右（或左）极限存在,并以A为右（或左极限）,5记作+lim()xafxA(或lim()xafxA).有时也记作(0)lim()xafafx或(0)lim()xafafx.1.2一元函数极限的性质(1)唯一性若lim()xafx存在,则它只有一个极限.(2)局部有界性若lim()xafx存在,则()fx在a的某个空心邻域0()Ua内有界.(3)局部保号性若lim()0xafxA(或0),则对任意正数(0)rrA,存在a的某一空心邻域0()Ua,使对0()xUa,恒有()0fxr或()0fxr.(4)保不等式性若lim()xafxA,lim()xagxB,且有'0,()()fxgx,0'(,)xUa成立,则AB,即lim()lim()xaxafxgx.(5)迫敛性若lim()lim()xaxafxgxA,且有'0,()()()fxhxgx,'(,)xUa,则lim()xahxA.2求一元函数极限极限的方法2.1利用定义求极限定义2.1.1设f在点ax的空心邻域aU0有定义,A为定数。若对于任给的0,存在0,使得当||0ax时有||Axf，则称函数f当x趋于a时,以A为极限,记作Axfaxlim或axAxf.定义2.1.2设f为定义在[a,+∞)上的函数,A为定值,若对任给正数,存6在正数M(≥a),使得当x﹥M时有|xf-A|,则称函数f当x时以A为极限,记作xlimxf=A或xf→A(x→+∞).x趋向于-∞时的函数极限的定义与定义2.1.2相似,只要把定义中的xM改为x-M即可.例1用极限定义证明：.1223lim22xxxx证：由244122322xxxxxx=222xx=2x.0,取则当0|x-2|,就有,12232xxx由函数极限定义有1223lim22xxxx.例2按定义证明0!1limnn.证：由111!(1)(2)1nnnnn令1n,则让1n即可,存在1N,当nN时,不等式111!(1)(2)1nnnnn成立,所以0!1limnn.72.2利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限,首先必须考虑分段点的左、右极限如果左、右极限都存在且相等,则函数在分界点处的极限存在,否则极限不存在定理2.2.1函数极限xfxxlim存在且等于A的充分必要条件是左极限xfxxlim及右极限xfxxlim都存在且都等于A.xfxxlim=Axfxxlim=xfxxlim=A.例30,10,12xxxxxf求xf在x=0的极限。解：11lim,11lim020xxxx，xf在x=0的极限存在，即1lim0xfx.2.3利用双侧极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限,首先必须考虑分段点的左、右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分界点处的极限存在,否则极限不存在.例4设21sin,0()1,0xxfxxxx,求()fx在0x的极限解由于01limsin1xxx20lim11xx则00lim()lim()1xxfxfx8故0lim()1xfx。例5设2201cos,0()5,0cos,0xxxxfxxtdtxx求0lim()xfx.解2001cos1(00)lim()lim2xxxffxx2000cos(00)lim()lim1xxxtdtffxx因(00)(00)ff,所以0lim()xfx不存在.2.4利用迫敛性定理求极限定理2.4设00lim()lim()xxxxfxgxA,且在某'0(,)oUx内()()()fxhxgx,则0lim()xxhxA.例6求01limxxx的极限.解111xxx.且0lim(1)1xx由迫敛性知01lim1xxx.2.5利用两个重要极限两个重要极限公式：(1)0sin1limlimsin1xxxxxx(2)101lim(1)lim(1)xxxxxex9在这一类型题中,一般也不能直接运用公式,需要恒等变形进行化简后才可以利用公式.(1)利用0sinlim1xxx来求极限0sinlim1xxx的扩展形为：令0xg,当0xx或x时,则有0sin()lim1()xxgxgx或sin()lim1()xgxgx.例7求sinlimxxx.解令tx,则sinsin()sinxtt,且当x时0t故0sinsinlimlim1xtxtxt.(2)利用1lim(1)xxex来求极限1lim(1)xxex的另一种形式为10lim